Co masz na myśli pisząc "cały zbiór jako element"?darek334 pisze: bo rozszerzono to na cały zbiór jako element
To też bym prosił przełożyć na polski. Wbrew temu co uważasz to matematyka zajmuje się w większości przypadków abstrakcyjnymi problemami, które bezpośredniego odniesienia do "rzeczywistości" mieć nie muszą (a przynajmniej nie w taki sposób, w jaki sądzisz). I często nie mają, np. to: ... -TarskiegoPermutacja pierwotnie oznaczała wszystkie możliwości z elementów zbioru
To tak z piątkowych nudów jeszcze dopiszę pewien ciąg myślowy związany z definicją permutacji:
1. Mamy powiedzmy pięć różnokolorowych samochodów. Na poziomie intuicyjnym permutacją nazwiemy każde ich przestawienie, z czym się pewnie zgodzisz.
2. Chcemy teraz to sformalizować i wyrazić w języku matematyki. Bo cóż to takiego przestawienie. Otóż można to sformalizować używając funkcji. W tym przypadku konkretnych funkcji. Bo ani liczba samochodów po przestawieniu się nie zmienia, ani żadne dwa samochody nie stoją na tym samym miejscu. Funkcję taką nazywa się bijekcją. Definiujemy zatem permutację skończonego zbioru \(\displaystyle{ n>0}\) elementów jako bijekcję tego zbioru na siebie.
3. Czy możemy to jakoś naturalnie uogólnić? Tak. Z podstaw teorii mnogości znana jest funkcja pusta, która przekształca \(\displaystyle{ \emptyset}\) na siebie i jest bijekcją. Zatem czemu nie nazwać jej permutacją? Bo w tym przypadku tracimy jakąkolwiek intuicję związaną z przestawianiem elementów? No tracimy, ale co z tego? No właśnie w matematyce to nic z tego. Nie wszystko musi mieć intuicyjne naturalne interpretacje. Gdyby wszyscy uważali, że jednak musi, to dalej bylibyśmy daleko w średniowieczu. Także technologicznie, bo wszystkie najnowsze technologie bazują na matematyce, która jest dużo bardziej nieintuicyjna niż to o czym mówimy...
Zatem nie przejmując się tym, że w pewnych przypadkach tracimy intuicyjną interpretację, definiujemy permutację zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego jako jego bijekcję na siebie.