Dowód hipotezy?

[Elayne]

Hipoteza Goldbacha jest sformułowana w następujący sposób:
każda liczba naturalna parzysta większa od \(\displaystyle{ 2}\) jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Skorzystam z następujących twierdzeń.
Postulat Bertranda – Twierdzenie Czebyszewa
Twierdzenie 1
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) większej lub równej \(\displaystyle{ 1}\) istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ n}\) i mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 2n}\).

Paul Erdős wzmocnił to twierdzenie dowodząc:
Twierdzenie 2
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 6}\), między liczbami \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\), znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\), oraz co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\).

Twierdzenie 3
Jest tylko jedna parzysta liczba pierwsza: \(\displaystyle{ 2}\).

Każdą licbę parzystą można przedstawić za pomocą dwóch zbiorów liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 04:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 3}\);
\(\displaystyle{ 06:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 3}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ 5}\);
\(\displaystyle{ 08:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 4}\) do \(\displaystyle{ 7}\);
\(\displaystyle{ 10:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 5}\) do \(\displaystyle{ 9}\);
\(\displaystyle{ 12:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 6}\) do \(\displaystyle{ 11}\);
\(\displaystyle{ 14:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 7}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 7}\) do \(\displaystyle{ 13}\);
\(\displaystyle{ 16:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\);
\(\displaystyle{ 18:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 9}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 9}\) do \(\displaystyle{ 17}\);
\(\displaystyle{ 20:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 19}\);
i tak dalej.

Liczby pierwsze można ustalić np. za pomocą sita Eratostenesa zaznaczając ostanie liczby z drugiego przedziału. Na przykład ostatnią liczbą dla \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 3}\), więc zaznaczamy co trzecią liczbę: \(\displaystyle{ 9}\) (dla \(\displaystyle{ 10}\)), \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 21}\) (dla \(\displaystyle{ 22}\)), \(\displaystyle{ 27}\) (dla \(\displaystyle{ 28}\)), itd., pierwszą nieskreśloną liczbą jest \(\displaystyle{ 5}\) (dla \(\displaystyle{ 6}\)) więc zaznaczamy co \(\displaystyle{ 5}\) liczbę: \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 25}\) (dla \(\displaystyle{ 26}\)), \(\displaystyle{ 35}\) (dla \(\displaystyle{ 36}\)) itd.

Przykład:
Weźmy na przykład liczbę 16. Zakładamy że nie wiemy które liczby są liczbami pierwszymi. Dla tej liczby możemy utworzyć takie zbiory liczbowe:
dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 2}\) zgodnie z tw. 1 i 3 liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą
dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 4}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 2}\) a \(\displaystyle{ 4}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 3}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 6}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 3}\) a \(\displaystyle{ 6}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 5}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 8}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 4}\) a \(\displaystyle{ 8}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 5, 7}\);
dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 10}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 5}\) a \(\displaystyle{ 10}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9}\);
dla \(\displaystyle{ n=6}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 12}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 6}\) a \(\displaystyle{ 12}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9, 11}\);
dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 14}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 7}\) a \(\displaystyle{ 14}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\);
dla \(\displaystyle{ n=8}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 16}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 8}\) a \(\displaystyle{ 16}\) są cztery liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13, 15}\);

Zgodnie z powyżej przytoczonymi twierdzeniami w każdym przedziale jest co najmniej jedna lub dwie liczby pierwsze (dla \(\displaystyle{ n > 6}\)). Dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\) zgodnie z twierdzeniem 2 jest tylko jedna liczba postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\) tak więc \(\displaystyle{ 11}\) jest liczbą pierwszą.
Można to też przedstawić graficznie: (zielona pionowa linia oznacza środek przedziału od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 15}\), zielone punkty oznaczają znane liczby pierwsze)

Na początku wspomniałem że liczbę \(\displaystyle{ 16}\) można przedstawić za pomocą liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczb od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\).
Wiemy, że w pierwszym zbiorze są takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ \{2, 3, 5\}}\) a w drugim zbiorze liczbą pierwszą jest na pewno \(\displaystyle{ 11}\). Liczba \(\displaystyle{ 11}\) jest oddalona od środka przedziału \(\displaystyle{ 8}\) o trzy (\(\displaystyle{ 8+3=11}\)) więc z pierwszej grupy odpowiada jej liczba \(\displaystyle{ 8-3=5}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą więc liczba \(\displaystyle{ 16}\) jest sumą liczb pierwszych \(\displaystyle{ 5, 11}\).

Jest to mocno okrojona wersja by pokazać w zarysie mniej wiecej o co chodzi. Jeśli to uogólnić dla dowolnej parzystej liczby naturalnej i pokazując, że przynajmniej dla jednego z czterech wariantów coś takiego zachodzi czy mogło to być dowodem hipotezy Goldbacha?

[mostostalek]

Dla ogromnych \(\displaystyle{ n}\) nie jesteś w stanie podać która z liczb z przedziału \(\displaystyle{ (n,2n)}\) jest pierwsza.. Chociażby dlatego, że największa znana liczba pierwsza jest ograniczona.. Wiesz tylko, że w tym przedziale istnieje jakaś liczba pierwsza.. Weźmy np, że chcemy przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 2k}\) w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.. Jeśli nie jesteś w stanie podać wartości \(\displaystyle{ i}\) dla którego \(\displaystyle{ k+i}\) jest pierwsze, to jak sprawdzisz czy \(\displaystyle{ k-i}\) jest pierwsze??

[Elayne]

Dlatego napisałem:

Zakładamy że nie wiemy które liczby są liczbami pierwszymi.

Na chwilę odbiegnę od tematu. Załóżmy, że mam jakąś liczbę złożoną \(\displaystyle{ k}\) będącą iloczynem dwóch liczb pierwszych których nie znam: \(\displaystyle{ k=a \cdot b, \ a < b}\). To, że nie znam czynników pierwszych tej liczby nie przeszkadza w tym by powiedzieć z całą pewnością na przykład to, czy \(\displaystyle{ \left( \frac{b-a}{2} \right)^2}\) dzieli się bez reszty przez cztery lub nie. Albo powiedzieć czy wyrażenie \(\displaystyle{ ab-a^2}\) jest lub nie jest podzielne przez cztery, itp. Wystarczy, że sprawdzę do którego układu (zbioru) należy podana liczba złożona.
Podobnie jest tutaj. „Każda” liczba parzysta została przydzielona do jednego z czterech zbiorów i w zależności od tego, do którego zbioru liczba parzysta została przydzielona spełnia ona ściśle określony układ przypisany do tego zbioru. Jeśli mamy podaną jakąś liczbę parzystą to z pierwszego zbioru dla danej liczby są typowane liczby które spełniają pierwszą połówkę układu, następnie są sprawdzane odpowiadające im liczby z drugiego zbioru. Po znalezieniu liczb które spełniają cały układ, na wszelki wypadek można zrobić test pierwszości tych liczb.

[mostostalek]

Ależ ja się z tym zgadzam Jest jeden problem.. Nie możesz stwierdzić, że istnieje taka para liczb dla każdej liczby parzystej dopóki nie sprawdzisz wszystkich liczb parzystych.. Możesz sprawdzać i szukać takiej pary dla każdej po kolei liczby parzystej.. Jak znajdziesz to przeskakujesz do następnej..

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=5+5
12=7+5
14=7+7
...
24=11+13 itd..
Niemniej póki nie sprawdzisz każdej liczby parzystej to nie możesz powiedzieć, że taka para istnieje.. W ten sposób to nie zadziała.. Dowodzisz hipotezę wykorzystując tą samą, jeszcze niedowiedzioną hipotezę, zakładając, że jej teza jest prawdziwa..

PS.. To czy sprawdzasz najpierw liczby postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) czy \(\displaystyle{ 4k+3}\) nie ma kompletnie znaczenia ze względu na to, że liczb nieparzystych obu typów w danym przedziale będzie zawsze tyle samo + - 1..

[Elayne]

Sprawdzenie „każdej” liczby parzystej jest nierealne gdyż dla dowolnej liczby naturalnej parzystej istnieje liczba większa.
\(\displaystyle{ \{2,10,18,26, \ldots \} \\
\{4,12,20,28, \ldots \} \\
\{6,14,22,30, \ldots \} \\
\{8,16,24,32, \ldots \}}\)
Więc to odpada. Myślałem o tym żeby pokazać, że przy takim podziale liczb naturalnych parzystych i przypisanym mu układzie zachodzą zależności które są prawdziwa tylko dla liczb pierwszych. Zbiory oraz układ przypisany dla danego zbioru powstały m.in. w oparciu o przytoczone w pierwszym poście twierdzenia.

[mostostalek]

Czy dowód byłby poprawny? Myślę, że byłby OK.. Niemniej nie wiem jak chcesz to zrobić