własność liczby pierwiastek z 2

[yaress]

Witajcie,
Mam takie pytanie. Pewnie dla biegłych z matematyki to jest proste ale mnie od jakiegoś czasu to zastanawia i nie mogę znaleźć na nie odpowiedzi.
Jak to jest, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną i do końca nie znamy jej wartości natomiast w kwadracie o boku 1 jako przekątna ma skończoną długość. To czemu nie jesteśmy w stanie podać jej wartości dokładnie?

[Medea 2]

Możemy podać wartość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) z dowolnie dobrym przybliżeniem. A dlaczego możemy narysować przekątną przy pomocy samego cyrkla z linijką? Ponieważ geometria bez układu współrzędnych nie ma żadnego odniesienia do liczb.

[Althorion]

Inaczej: wiemy dokładnie, ile ten \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wynosi, tyle że ułamki dziesiętne niezbyt się nadają do wyrażenia tego. Tym niemniej wciąż możemy ją porównywać z innymi liczbami czy wykonywać na niej operacje arytmetyczne.

Niewymierność liczby nie ma żadnego związku z tym, czy można skonstruować odcinek o odpowiedniej długości przy użyciu cyrkla i linijki. Tzn. można tak uczynić dla wszystkich liczb wymiernych, ale nie tylko. Tym, co nas ogranicza, jest dopiero algebraiczność.
Liczby algebraiczne to te, które są pierwiastkami jakiegoś wielomianu o współczynnikach całkowitych. I tak na przykład \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) taką liczbą jest, gdyż jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^2 - 2}\), a takie \(\displaystyle{ \pi}\) już nie.

[a4karo]

Alez oczywiście znamy jej wartość : to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Dlaczego 1.4142... miałoby być gorsze od 0.3333...?-- 18 paź 2015, o 20:11 --

.... Tym, co nas ogranicza, jest dopiero algebraiczność.
.

Nie jest prawdą, że wszystkie liczby algebraiczne są konstruowalne.

[yaress]

wiemy dokładnie, ile ten \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wynosi, tyle że ułamki dziesiętne niezbyt się nadają do wyrażenia tego

A co w takim razie się nadaje?
Liczba ta jak sama nazwa wskazuje jest niewymierna - nie ma wymiaru/wartości skończonej, jak można tak powiedzieć. Ale jako przekątna kwadratu ma skończoną długość. To co jest nie tak?

[AiDi]

Liczba ta jak sama nazwa wskazuje jest niewymierna - nie ma wymiaru/wartości skończonej, jak można tak powiedzieć.

Nie można. Ta liczba jest przecież skończona, po prostu ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, do tego nieokresowe. A to nie to samo co nieskończona wartość - w tym może tkwić Twój problem. Przecież liczba \(\displaystyle{ 1/3=0,(3)}\), czy \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\) też mają nieskończone rozwinięcie dziesiętne, a nie powiesz chyba, że \(\displaystyle{ 1/3}\) czy \(\displaystyle{ 1}\) nie mają wartości skończonej

[yaress]

...jest skończona i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), tak?
I to już wszystko?
Mając liczbę i jakby przypisane do niej działanie elementarne nadal traktujemy to jako liczbę podstawową, skończoną?

[a4karo]

Chyba używasz pojęć, których znaczenia nie rozumiesz. Co to test liczba podstawowa? Co to jest działanie elementarne?

Co powiesz o liczbie \(\displaystyle{ \sqrt{6+4\sqrt{2}} +\sqrt{6-4\sqrt{2}}}\)?

[yaress]

Pewnie nie rozumiem i dlatego się nad tym zastanawiam
Intuicyjnie liczbą podstawową to jest dla mnie liczba 4 (czyli Twoja liczba ) Natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest wykonaniem działania podstawowego - odwrotności potęgowania na liczbie 2. Wykonując to działanie redukuję to de facto do liczby ("podstawowej" ), której wartość nie można przedstawić w postaci liczby "zamkniętej". A jak pisałem wcześniej odcinek przekątnej jest ograniczony, skończony.

[a4karo]

Po prostu nie zawracaj sobie tym głowy. Przyjmij, że są liczby, które można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych (i te są wymierne) i takie, których się nie da (\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest jedna z nich. Wszystkie są jednak skończone (mimo, że maja nieskończone rozwinięcia dziesiętne) i na wszystkich można wykonywać takie same działania arytmetyczne.

Możesz stworzyć sobie pojęcie "liczby podstawowej" i "operacji podstawowej", ale pamiętaj, że muszą one być ściśle zdefiniowane: Twoja intuicja może się diametralnie różnić od mojej, a ta od jeszcze innych.


Edit: edycja literówek

[AiDi]

A jak pisałem wcześniej odcinek przekątnej jest ograniczony, skończony.

No, zupełnie jak \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)