"Całka na oko"

bienieck · Post autor: **bienieck** » 3 sie 2011, o 00:32

Czy mógłby mi ktoś podać intuicyjny sposób wykreślania przebiegu funkcji poddanej operacji całkowania? Mam na myśli jakąś niedokładną metodą dzięki której patrząc np na wykres funkcji cosinus mógłbym narysować wykres jej całki (przy założeniu, że nie jestem obkuty we wzory i nie mam tablic).
Coś analogicznego do metody dla pochodnej którą przybliżę poniżej, mianowicie:

(Z góry przepraszam za przedstawione poniżej discopolo matematyczne* ale oczekiwałbym właśnie takiej analogicznej metody przy szacowaniu przebiegu scałkowanej funkcji.)

Mamy funkcję \(\displaystyle{ \sin x}\).
"Bierzemy pod lupę" początek układu współrzędnych (strona dodatnie).
Funkcja jest rosnąca.
Nachylenie jest w stosunku \(\displaystyle{ \alpha / \alpha}\) czy też przyrost jest równy 1.
Przyrost jest równy jeden więc w początku układu wsp. wartość pochodnej jest 1.
Idąc dalej nachylenie maleje i jest teraz w stosunku \(\displaystyle{ \alpha _{m} / \alpha _{d}}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha _{m} < \alpha _{d}}\) więc pochodna jest mniejsza od 1.
Dochodzimy tym sposobem do szczytu sinusoidy gdzie przyrost jest równy 0 tzn krzywa się załamuję i zaczynamy lecieć analogicznie w dół pamiętając o ujemnym nachyleniu/
Czyli krótko mówiąc/pisząc pochodna jako nachylenie przebiegu funkcji.

A teraz proszę o uzupełnienie zdania
"Krótko mówiąc/pisząc całka jest to ........ przebiegu funkcji."

________________
* by Stanley

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 sie 2011, o 00:35

"Krótko mówiąc/pisząc całka jest to ........ przebiegu funkcji."

Narzędzie, które nie służy do badania

Funktor · Post autor: **Funktor** » 3 sie 2011, o 00:37

Średnio rozumiem to zdanie " Nachylenie jest w stosunku alpha / alpha czy też przyrost jest równy 1" ? Mółbyś dokładniej ? ;]

bienieck · Post autor: **bienieck** » 3 sie 2011, o 00:43

Funktor pisze:Średnio rozumiem to zdanie " Nachylenie jest w stosunku alpha / alpha czy też przyrost jest równy 1" ? Mółbyś dokładniej ? ;]

Mam na myśli że w dużym przybliżeniu gdy sinus startuje od zera to jest to prosta o równaniu f(x)=x czyli nachylenie takiej funkcji jest równe 1 (1/1, 2/2, 3/3...).

-- 3 sie 2011, o 00:45 --

miodzio1988 pisze:
"Krótko mówiąc/pisząc całka jest to ........ przebiegu funkcji."
Narzędzie, które nie służy do badania

No nie wiem, jeżeli mam system całkujący czyli taki prosty integrator to na pewno sygnał wyjściowy daje informacje o wejściowym czyli da się tym coś zbadać. Problem polega na tym aby rozpoznać tendencje.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 sie 2011, o 00:50

\(\displaystyle{ \int_{}^{} cdx}\)

\(\displaystyle{ c \in R}\)

Powiedz mi co mając całkę możemy się dowiedzieć o funkcji? Tylko całkę. Chyba, że chcesz różniczkować wynik. Wtedy padnę..

bienieck · Post autor: **bienieck** » 3 sie 2011, o 00:58

To ja się pytam "co?". Chodzi mi o to, że mamy jakąś dowolna krzywą, jakąś charakterystykę ale nie mam równania tej funkcji to jak mam oszacować jak będzie wyglądał wykres całki takiej funkcji.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 sie 2011, o 01:01

miodzio1988 pisze:
"Krótko mówiąc/pisząc całka jest to ........ przebiegu funkcji."
Narzędzie, które nie służy do badania

Tyle w tym temacie.

mamy jakąś dowolna krzywą, jakąś charakterystykę ale nie mam równania tej funkcji to jak mam oszacować jak będzie wyglądał wykres całki takiej funkcji.

Nie oszacujesz czegoś takiego. Przykro mi. Zacznij się bawić prostymi funkcjami to sam zauważysz brak tendencji

miki999 · Post autor: **miki999** » 3 sie 2011, o 01:05

Całka oznaczona to pole pod wykresem.
Całka nieoznaczona to takie "nie wiadomo co". Jak funkcja leci po wartościach dodatnich to całka na pewno jest funkcją rosnącą, jak po ujemnych to malejącą na zadanym przedziale (jednak nie możemy szacować na jakich wartościach to się dzieje). To tak nieformalnie zakładając, że f. całkowalna jest ciągła.
Ponadto wynikiem całki nieoznaczonej to rodzina krzywych.

Pozdrawiam.

PS
Moja nauczycielka w gimnazjum mawiała "Na oko to umarł pacjent u lekarza".

mkacz · Post autor: **mkacz** » 3 sie 2011, o 18:33

miki a ja znam wersję - "Na oko to chłop w szpitalu umarł."

Co do tematu - całki nie da się zrobić "na oko". A skoro kolega o całkach pisze - to znaczy, że o pochodnych coś słyszał. Czy tam też się robiło "na oko"? Całkowanie to operacja odwrotna do liczenia pochodnej, więc wzorki i zadania (tak wiem - nie chcesz wzorów) bo bez tego - ani rusz.

bienieck · Post autor: **bienieck** » 3 sie 2011, o 22:49

Przecież pokazałem różniczkowanie na oko które działa. I liczyłem na to (skoro różniczkowanie i całkowanie to operacje odwrotne), że ktoś mi pokaże coś podobnego dla całkowania. Interesowałoby mnie tylko całkowanie funkcji które są realizowalne fizycznie tj sygnałów rzeczywistych.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 sie 2011, o 22:52

Ponadto wynikiem całki nieoznaczonej to rodzina krzywych.

Więc krzywa tak naprawdę będzie (prawie) dowolna jak widać.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 3 sie 2011, o 23:36

miodzio1988 pisze: Więc krzywa tak naprawdę będzie (prawie) dowolna jak widać.

W tym wypadku hiperbolizujesz.

bienieck, wystarczy Ci model fizyczny? Załóżmy że chcesz scałkować funkcję \(\displaystyle{ f(t)}\). W tym celu wsiadasz do samochodu, włączasz silnik, i starasz się tak jechać, żeby w chwili \(\displaystyle{ t}\) prędkość Twojego samochodu wynosiła \(\displaystyle{ f(t)}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(t)<0}\), to jedziesz do tyłu. Jednocześnie gdzieś na boku notujesz sobie położenie samochodu w każdej chwili. Wykres położenia od czasu, to jest to, o co Ci chodzi.

bienieck · Post autor: **bienieck** » 4 sie 2011, o 19:00

Model fizyczny jak najbardziej mi pasuje tylko, że sprawdzam se Twój model na funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i niby kształt się zgadza ale w wyniku powinienem dostać funkcję \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{2}}\), a dostaje \(\displaystyle{ x ^{2}}\).

Mógłbyś pokazać tę metodę na jakimś przykładzie konkretnym np \(\displaystyle{ f(x)=x}\) albo lepiej \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)?

-- 4 sie 2011, o 19:22 --

miodzio1988 pisze:
mamy jakąś dowolna krzywą, jakąś charakterystykę ale nie mam równania tej funkcji to jak mam oszacować jak będzie wyglądał wykres całki takiej funkcji.
Nie oszacujesz czegoś takiego. Przykro mi. Zacznij się bawić prostymi funkcjami to sam zauważysz brak tendencji

Jeżeli nie da się tego oszacować i jedynie co da się zrobić to policzyć to jakim sposobem może działać ?

... graph.html

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 sie 2011, o 20:13

Oczywiście koledzy sporo namieszali, głównie Miodzio, który że nie słyszał o metodach przybliżonych rysowania całki z danej funkcji, to rozumiem, ale żeby tak swoją ignorancję ogłaszać...

bienieck - szukaj u wujka Google'a właśnie przybliżonego rysowania całki danej funkcji. Jest taka metoda, choć przyznaje się, nigdy nie chciało mi się jej zgłębiać. Wiem jednak, że istnieje.

miki999 · Post autor: **miki999** » 4 sie 2011, o 20:16

Fizycznie całkowanie to nawet proste układy elektroniczne wykonują: ... uj%C4%85cy

Najbanalniejszym w realizacji jest klasyczny filtr dolnoprzepustowy RC.

Oczywiście to całkowanie to jest właśnie takie "na oko".