Zagwozdka z długością drogi

[azn3]

Mam problem, nie mam pojęcia, gdzie źle rozumuję.

Mamy trójkąt prostokątny równoramienny o ramionach dł. 1. Zatem przeciwprostokątna jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), zatem droga z jednego wierzchołka na drugi wynosi 1+1 = 2.
Wyobraźmy sobie, że dzielimy ten odcinek na takie pomniejsze trójkąciki do przebycia, dzielimy ten odcinek w nieskończoność.

Chcemy przebyć z lewego górnego na prawy dolny.
Wg tej logiki ta droga (przeciwprostokątna powinna się równać 2) powinna być sumą dwóch dróg o dł. 1.

Gdzie się pomyliłem?

[Fingon]

Wydaje mi się, że błąd jest tylko we wniosku. To, że tworzona ścieżka przybliża przeciwprostokątną to tylko złudzenie. Zauważ, że ilu podziałów byś nie dokonał, to łączna długość odcinków jest stała.

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej korzystając z nieskończonej ilości przybliżeń powinieneś skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Kiedy skorzystasz z tej metody i użyjesz wspomnianego ciągu podziałów odcinka, to zauważysz, że jest to beznadziejny wybór, właśnie ze względu na stałą wartość ciągu, która nie jest równa długości przeciwprostokątnej. Udowodnisz w ten sposób tylko to, że długość przeciwprostokątnej jest mniejsza niż 2.

Wniosek: nieskończoność potrafi być zdradliwa.

[xiikzodz]

Przy tym przejściu granicznym długość nie jest zachowana.