Problem z liczbą 0,(9)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 28 paź 2006, o 15:41

Nie, nie jest.

Bierut · Post autor: **Bierut** » 28 paź 2006, o 15:54

Ale dlaczego?
Jeśli nie wiesz jak mi to wytłumaczyć, to i tak dzięki za to wszystko co mi powiedziałeś. Możesz mi uwieżyć, że choć trochę się zbliżyłem do zrozumienia, że 0,(9)=1. Chyba masz rację, gdy będę miał te szeregi i granice, to może zrozumienie przyjdzie mi łatwiej.

To nie znaczy jednak, że w pełni jestem przekonany.
Chciałbym się jeszcze tylko dowiedzieć, czy ten problem został już tak udowodniony, że nie da się tego podważyć. Jeśli tak to gdzie moge szukać informacji na ten temat, prócz strony którą mi podałeś.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 28 paź 2006, o 15:59

Istotnie 0,9

Bierut · Post autor: **Bierut** » 28 paź 2006, o 16:22

Zgadzam się z tym co jest napisane w materiale na temat różnicy tych liczb. Ale mówiłem, że skoro to prawda, to mamy zbyt mało dokładny system liczbowy.

Nasuwa mi się jedno pytanie, na które odpowiedź mogłaby mnie przekonać do tego o czym tu mówimy.
Po co są te obie postacie: 1 i 0,(9)?
Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1}=1}\), bo w jedynce mieści się tylko jedna jedynka (działanie to czynność). Ale zapisywać jedną liczbę w różny spozób?

Chciałbym zobaczyć działanie, które doprowadzi do 0,(9) (czyli: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=0,(9)}\)
Czy tu chodzi o coś takiego:

: AU; a433d3cd028948fa.jpg (2.37 KiB) Przejrzano 205 razy

[/url]
Jeśli tak, to moje wątpliwości są już rozwiane.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 29 paź 2006, o 08:22

Linki wygasły - czeslaw
Matematycy już dawno zaczęli sobie stawiać pytania, co by było gdyby \(\displaystyle{ 0,(9)\,<\,1}\) ...

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 29 paź 2006, o 12:44

Bierut ==> No nie do końca to dzielenie Ci wyszło. Ale spróbuj np. tak: podziel 1 przez 9 - otrzymasz oczywiście zapis dziesiętny ułamka \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\). Ale przecież \(\displaystyle{ 9\cdot\frac{1}{9}=1}\). No to teraz pomnóż przez 9 otrzymany zapis dziesiętny. I co Ci wyszło? Tu wszystko cały czas się rozbija o to abstrakcyjne pojęcie "nieskończoność" - system liczbowy jest dokładny bo nie istnieje liczba która by była tą "niedokładnością".

Bierut · Post autor: **Bierut** » 29 paź 2006, o 15:08

DEXiu pisze:Ale spróbuj np. tak: podziel 1 przez 9 - otrzymasz oczywiście zapis dziesiętny ułamka \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\). Ale przecież \(\displaystyle{ 9\cdot\frac{1}{9}=1}\). No to teraz pomnóż przez 9 otrzymany zapis dziesiętny. I co Ci wyszło? Tu wszystko cały czas się rozbija o to abstrakcyjne pojęcie "nieskończoność" - system liczbowy jest dokładny bo nie istnieje liczba która by była tą "niedokładnością".

Już nie raz robiłem to w ten sposób, ale ciągle mi coś nie pasuje. To wygląda trochę nielogicznie. \(\displaystyle{ 9\cdot\frac{1}{9}=1}\) to oczywiste.
Ale skoro możemy zrobić \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=0,(9)}\); to nie możemy zrobić \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=1}\). To przecież dwa różne działania.
Więc \(\displaystyle{ 0,(9)\neq\frac{9}{9}}\); lub \(\displaystyle{ 1\neq\frac{9}{9}}\)
Jest jeszcze jedna możliwość (która jest nie prawdziwa, ale podaje ją bo mi przyszła do głowy): \(\displaystyle{ \frac{1}{9}\neq0,(1)}\)

A co do tego mojego dzielenia w słupku 9:9; wiem, że nie jest poprawne, ale czy ktoś zna jakieś inne dzielenie, gdzie po przecinku było widać powtarzające się dziewiątki?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 29 paź 2006, o 16:16

Nikt nie zna innego dzielenia z tej prostej przyczyny, że jest ono poprawne i daje poprawny wynik A mówiąc, że \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=1}\) i \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=0,(9)}\) to dwa różne działania zakładasz, że \(\displaystyle{ 0,(9)\neq1}\) - nie można dowodzić czegoś (w tym przypadku tego, że \(\displaystyle{ 0,(9)\neq1}\)) zakładając, że tak właśnie jest.

Bierut · Post autor: **Bierut** » 29 paź 2006, o 17:24

Ja nie zakładałem, że \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=1}\) i \(\displaystyle{ 0,(1)\cdot9=0,(9)}\) to dwa różne działania, tylko że jedno z nich jest błędnie wykonane.

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 29 paź 2006, o 20:01

Niby czemu błędnie skoro w obu wynik wychodzi poprawny?
I tym sposobem wracamy do punktu wyjścia, tj. kłótni o to, czy 0,(9)=1 czy też nie. Proponuję poprzestać na przyjęciu tego faktu za prawdziwy bez dowodu.

Bierut · Post autor: **Bierut** » 29 paź 2006, o 21:40

Mam jeszcze jedno zadanie.
Jest dany odcinek długości x. Odznaczamy na nim \(\displaystyle{ \frac{9}{10}x}\), otrzymując w ten sposób dwa odcinki. Następnie na kródszej części znowu zaznaczamy \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\) jej długości. Powtarzamy tę czynność w nieskończoność. Czy w końcu odznaczymy cały odcinek x?

a) Jeśli nie: prosze podać różnicę między x, a nowo otrzymanym odcinkiem.
b) Jeśli tak: prosze powiedzieć, co się stało z tą 1/9 najmniejszego odcinka, której jeszcze nie odznaczymy.

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 31 paź 2006, o 15:37

Odp.: TAK, bo robimy tę czynność w nieskończoność, a \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{10})^{n}=0}\)
Odpowiedzią na pytanie postawione dalej jest: również zostanie podzielony (powód jak wyżej )

Bierut · Post autor: **Bierut** » 1 lis 2006, o 11:54

To do tego samego zadania (według ciebie) każdą część jaką będziemy odznaczać w nieskończoność, jeśli jest ona większa od połowy połowy, to wkońcu zaznaczymy cały diocinek x.

Moim zdaniem to zadanie dowodzi, tego że mimo 1-0,(9) nie jest liczbą większą od zera (lub nie można takiej liczby znaleść), to i tak 1≠0,(9)

[ Dodano: 1 Listopad 2006, 18:36 ]

Uzo pisze:Niech x=0,(9) , czyli
x=0,999... |*10
10x=9,999...
-9x=-9 |:(-9)
x=1
czyli 0,(9) = 1

Ten sposób nic nie udowadnia.
... 9a882.html
W tym materiale (mimo, iż jest mowa o fraktalach) można znaleść potwierdzenie, że sposób który przedstawił Uzo niczego nie dowodzi.

\(\displaystyle{ \sqrt{15-2\sqrt{15-2\sqrt{15-2\sqrt{15-2...}}}}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{5-2x}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=15-2x}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x=15}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1=15+1}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^{2}=16}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)
(...)w dalszej części równania, stosując proste przekształcenia i wzory skruconego mnożenia, dochodzimy do ostatecznego rozwiązania: x=5. Jednak w rzeczywistości nasz fraktal jedynie dąży do liczby 5 tzn. po każdym kolejnym przekształceniu zbliża się do niej coraz bardziej, ale nigdy jej nie osiągnie.(...)

Jak to wyjaśnisz?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 1 lis 2006, o 21:38

To do tego samego zadania (według ciebie) każdą część jaką będziemy odznaczać w nieskończoność, jeśli jest ona większa od połowy połowy, to wkońcu zaznaczymy cały diocinek x.

Prawda, choć tez nie do końca - nie musi być ona większa od połowy połowy - wystarczy, że będziemy odcinek dzielili w jakimśtam stosunku różnym od 0:1 - zawsze dojdziemy tym dzieleniem w nieskończoności do zera.
Ta debata na serio nie ma sensu - żeby Cię usatysfakcjonować powiem: dobrze, masz rację - 0,(9) nie jest równe 1, lecz 1 jest granicą szeregu geometrycznego który reprezentuje tę liczbę (0,(9)). Zatem 0,(9) jakby "dąży" do 1 i nie mogłoby być równe niczemu innemu jak tylko 1

Bierut · Post autor: **Bierut** » 1 lis 2006, o 22:01

No i właśnie o to mi chodziło. Dąży nie znaczy jest.
Widzę, że opinia kogoś innego niż tylko moja (mam na myśli materiał, który tu zamieszczałem) podziałała.