Problem z liczbą 0,(9)

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 27 paź 2006, o 18:04

Jak zapisać liczbę 0,(9) w postaci ułamka zwykłego.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Uzo » 27 paź 2006, o 18:13

Niech x=0,(9) , czyli


x=0,999... |*10
10x=9,999...

odejmując równania stronami
-9x=-9 |:(-9)
x=1

czyli 0,(9) = 1

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 27 paź 2006, o 19:15

Ale przecież: 1=1,000...
0,(9)≈1 to tylko przybliżona wartość,
a mi chodziło o dokładne rozwiązanie (którego chyba nie ma)

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Uzo » 27 paź 2006, o 19:40

0,(9) w przeliczeniu na ułamek zwykły( tak jak to zrobiłem) to 1 Ale faktycznie jakby na to , nie patrzeć to jest to przybliżenie

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 27 paź 2006, o 23:26

Więc nie da się tego zapisać w postaci ułamka zwykłego (bez przybliżenia)?
A skoro tak, to prawdą jest, że liczba 0,(9) nie jest liczbą wymierną?
No bo liczba wymierna to taka, którą da się przedstawić w postaci ilorazu dwuch liczb całkowitych.

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan » 27 paź 2006, o 23:38

Zapoznaj się lepiej z tym, a wszystko stanie się jasne.

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 27 paź 2006, o 23:43

Ale moje pytanie brzmiało: Jak zapisać liczbę 0,(9) w postaci ułamka zwykłego? Czy to możliwe?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan » 28 paź 2006, o 00:04

Czy Ty aby na pewno przeczytałeś cały materiał zawarty w tym linku? Bo jeśli tak, to potrafisz sobie odpowiedzieć na to pytanie.

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 28 paź 2006, o 00:44

Przepraszam, wcześniej nie zauważyłem tego linka.

Mam jeszcze wątpliwości:
Jeśli zgodzimy się z tym, że 0,(9)=1, to musimy się zgodzić z tym, że dzieląc jakiś odcinek ciągle np. na pół, otrzymamy wkońcu 0, a przecież to nieprawda, bo długość będzie dążyć do zera, ale nim nigdy nie będzie.

Wydaje mi się, że w tym temacie było coś podobnego:
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=18762
i padło tam stwierdzenie:
Rogal pisze:Nawet hipotetycznie jeśli będziemy dodawać do siebie nieskończenie wiele odcinków to jeśli tylko tworzą ciąg geometryczny malejący to wynik jest jak najbardziej skończony. Dla przekonania się polecam narysować sobie dość długi odcinek, podzielić na pół, połówkę podzielić na pół, tą półówkę z kolei znowuż na pół i tak sobie dziel do nieskończoności (tyle spokoju będzie ; p), a i tak w sumie otrzymasz cały odcinek, nic poza tym.
Ostatnio zmieniony 28 paź 2006, o 02:04 przez Bierut, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Undre
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Undre » 28 paź 2006, o 02:02

Uzo pisze: x=0,999... |*10
10x=9,999...
Heh, nie wiem jakie zdanie mają na ten temat inni, ale ten chwyt z mnożeniem zawsze mi się wydawał taki "o kant dupy" ( i w pierwszym temacie na tym forum odnośnie tej całej kwestii, który to chyba gdzieś przepadł, ktoś się tego mnożenia uczepił w przekonywujący mnie sposób ), dowodzenie prawdziwości tej równości za pomocą sumowania wyrazów ciągu jest imho bardziej solidne

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 28 paź 2006, o 12:26

Tristan pisze:Zapoznaj się lepiej z tym, a wszystko stanie się jasne.
Myśląc w sposób przedstawiony na tamtej strony, możemy powiedzieć:
Ile dziewiątek po przecinku należy zapisać, aby wkońcu było równe jeden (no właśnie, nie ma takiej ilości).
Powiedzmy jedna dziewiątka po przecinku: 0,9

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan » 28 paź 2006, o 12:54

Cóż, to może z innej strony...
Czy zgodzisz się z faktem, że \(\displaystyle{ \frac{3}{9}=\frac{1}{3}=0,(3)}\)? Jeśli tak, to zgodzisz się z tym, że \(\displaystyle{ 1=\frac{9}{9}= \frac{3}{9}+\frac{3}{9} + \frac{3}{9}=0,(3)+0,(3)+0,(3)=0,(9)}\).

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 28 paź 2006, o 15:14

Więc zapis 0,(9) jest nieprawidłowy i nie powinno się go stosować?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Tristan » 28 paź 2006, o 15:16

Skądże znowu taki wniosek? Zapis 0,(9) jest jak najbardziej prawidłowy. Może gdy będziesz miał szeregi i granice, łatwiej przyjdzie Ci zrozumienie, że 0,(9) rzeczywiście równe jest 1.

Awatar użytkownika
Bierut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 684
Rejestracja: 26 paź 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 84 razy

Problem z liczbą 0,(9)

Post autor: Bierut » 28 paź 2006, o 15:21

Ale czy moje rozumowanie z przed czterech postów nie jest prawidłowe (z tym dopisywaniem dziewiątek w nieskończoność).

ODPOWIEDZ