Trysekcja kąta

[wujomaro]

Panowie: STOP!
Przestańcie się ze sobą kłócić, bo zrobi się tutaj totalna dzicz. Przyznaję, myliłem się, popełniłem błąd i jestem tego świadomy, ale jeśli już musicie kogoś tutaj atakować, to tylko i wyłącznie mnie.
Z takich dyskusji wynikają same kłótnie i kłopoty; myślałem że temat został już dawno temu zamknięty, ale wystarczył jeden prowokujący post, żeby rozpocząć te bezscelowe rozmowy ponownie.

[Orion94]

Matematyka to matematyka. Albo coś jest prawdziwe albo nie. Jeśli ktoś czegoś dowiódł to jest to prawdziwe i nie ma znaczenia czy to zgadza się z rzeczywistością (od tego jest fizyka).
BTW. Słuchałem wykładu starszego wiekiem doktora matematyki, który powiedział, że matematycy się nie kłócą bo tylko dowód jest potwierdzeniem jego tezy.

[SasQ]

Nie było możliwe wyciąganie pierwiastka z ujemnych liczb rzeczywistych i dalej nie jest w obrębie liczb rzeczywistych. Chcesz obalić matematykę?

A czy ja piszę, że jest możliwe w obrębie liczb rzeczywistych? Piję do zupełnie czego innego. Przyjrzyj się jeszcze raz uważnie temu, co napisałeś:

dziś też twierdzi się, że z ujemnych liczb rzeczywistych nie da się wyciągnąć pierwiastka.

a teraz odpowiedz mi na pytanie: jaką liczbą jest \(\displaystyle{ -1}\) w moim wzorze, jeśli nie rzeczywistą? Podkreślam, że nie chodzi mi o wynik pierwiastkowania, \(\displaystyle{ i}\) (bo ten rzeczywiście nie jest liczbą rzeczywistą), tylko o liczbę pod pierwiastkiem, bo twierdzisz, że to z niej nie da się wyciągnąć pierwiastka (i pozwól, że sprecyzuję: kwadratowego, bo np. sześcienny i inne nieparzyste dają jeden z wyników rzeczywisty), i w dodatku że tak "się twierdzi". Kto tak twierdzi prócz Ciebie?

W dowodzie niemożności trysekcji kąta nie ma błędów, więc dowód jest poprawny.

Przecież nie mówię, że jest w nim błąd (a przynajmniej ja nie znalazłem). Czytasz w ogóle co piszę? Czy dopasowujesz moje wypowiedzi do swojego wyobrażenia o mnie, czyli jak sądzę "tego, który z deginicji musi się mylić"?
Mówię, że pomimo poprawności tego dowodu mogą istnieć inne rozwiązania problemu, których ten dowód nie przewidywał. Być może opierające się na innych założeniach, lub wykorzystujące jakąś "lukę w prawie".

jeśli już musicie kogoś tutaj atakować, to tylko i wyłącznie mnie.

Na mnie nie licz Według mnie niczym nie zasłużyłeś sobie na atak. Wręcz przeciwnie: na uznanie, za samodzielne myślenie i próby. Nie powiedziałbym, że nieudane, bo na pewno wyniosłeś z nich rzeczywistą, praktyczną wiedzę, przekonałeś się na własnej skórze (a nie z książek i legend o mądrych ludziach) jak to jest, i sam odkryłeś przybliżoną konstrukcję, co według mnie jest nagrodą samą w sobie. Chętnie zobaczę Twoje rozwiązanie. Brawa za kreatywność. Właśnie takich ludzi nam trzeba.

Matematyka to matematyka. Albo coś jest prawdziwe albo nie.

A skąd matematyka (czy raczej logika) ma wiedzieć, co jest prawdziwe, a co nie? Żeby coś wyjąć, najpierw coś trzeba włożyć. Logika może Ci tylko powiedzieć, że coś jest prawdą JEŻELI Twoje założenia były prawdą. Albo czy Twoje wnioskowanie prowadzi do sprzeczności. Ale nie powie Ci, czy miałeś rację od początku, bo aksjomaty się zakłada, a nie wnioskuje. Jeśli te aksjomaty były błędne, to nie masz żadnej pewności co do wyników. GIGO (Garbage In -> Garbage Out. Śmieci na wejściu -> śmieci na wyjściu). Z fałszywych założeń możesz udowodnić wszystko.

[AiDi]

Mówię, że pomimo poprawności tego dowodu mogą istnieć inne rozwiązania problemu, których ten dowód nie przewidywał.

Czyli nie rozumiesz czym jest dowód w matematyce.

Być może opierające się na innych założeniach, lub wykorzystujące jakąś "lukę w prawie".

Ale to już nie będzie ten problem którego ten temat dotyczy...

a teraz odpowiedz mi na pytanie: jaką liczbą jest -1 w moim wzorze, jeśli nie rzeczywistą?

Rzeczywista, przy traktowaniu liczb rzeczywistych jako podzbiór liczb zespolonych, bo inaczej się nie da. Przykład który podałeś jako "rzecz której nie można zrobić i jest to udowodnione, która jednak dziś jest możliwa" nie traktował tak liczb rzeczywistych. Zatem jest to zły przykład, bo dalej podchodząc do tego jak podchodzili tamci ludzie (czyli again, nie widzimy nic ponad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej się wyciągnąć nie da i jest to fakt aktualny i dziś, trzeba wyjść poza liczby rzeczywiste. Inna sprawa, że ludzie nie myśleli, że tak można, ale nie było to udowodnione, że nie można.

[wujomaro]

Panowie, przestańcie. Albo nie piszcie bezcalowych, powtarzających się postów, albo załóżcie sobie nowy temat.

[Orion94]

Ale nie powie Ci, czy miałeś rację od początku, bo aksjomaty się zakłada, a nie wnioskuje. Jeśli te aksjomaty były błędne, to nie masz żadnej pewności co do wyników.

Udowodnij więc, że aksjomaty są błędne.

[Lorek]

Popatrz tylko, jak wyglądają odpowiedzi w tym temacie: wszyscy tylko na to czekają i już sobie ostrzą zęby,

Wszyscy, czyli Ty też?

Tak było z liczbami zespolonymi, z geometriami nieeuklidesowymi

Ale co niby z nimi było? Obalały jakieś twierdzenia?

bo interesuje mnie prawda

Logika nie wie, co jest prawdą, a co nie. Może jedynie wnioskować to na podstawie aksjomatów, które podasz jej na wejściu, ale nie wie, czy te aksjomaty były prawdą w pierwszej kolejności.

A Ty wiesz co jest prawdą a co nie? Korzystasz z jakichś aksjomatów?

Że jeśli jakaś teoria głosi, że coś się nie da, to się nie da i już, i nie istnieją inne możliwości? Dowód przecież nie przekreśla innych dróg - jedynię tę, której błędność wykazał.

Tego nie rozumiem, w jaki sposób te zdania się wykluczają?

bo twierdzisz, że to z niej nie da się wyciągnąć pierwiastka (i pozwól, że sprecyzuję: kwadratowego, bo np. sześcienny i inne nieparzyste dają jeden z wyników rzeczywisty), i w dodatku że tak "się twierdzi". Kto tak twierdzi prócz Ciebie?

Bo się nie da. Nie myl pierwiastka arytmetycznego z zespolonym. Nie da się wyznaczyć pierwiastka arytmetycznego stopnia parzystego z liczb ujemnych, co wynika z jego definicji.

Mówię, że pomimo poprawności tego dowodu mogą istnieć inne rozwiązania problemu, których ten dowód nie przewidywał. Być może opierające się na innych założeniach, lub wykorzystujące jakąś "lukę w prawie".

Istnieją takie dowody, ale co z tego jak nas interesuje dowód opierający się na konkretnych założeniach?

[porfirion]

BTW toczącej się "dyskusji". Czy jest możliwe, że ktoś nagle udowodni, że możliwa jest trysekcja kąta, przy czym w dowodzie jej nieistnienia nie zostanie znaleziony błąd? - Równoważnie, zostanie dowiedzione, że aksjomaty, którymi się posługujemy są wewnętrznie sprzeczne. Czy możliwe jest dowiedzenie, że aksjomaty którymi się posługujemy nie są sprzeczne?

[MatWojak]

Panowie, przestańcie. Albo nie piszcie bezcalowych, powtarzających się postów, albo załóżcie sobie nowy temat.

Żarliwa kłótnia rozwija myślenie, co prowadzi do odkrywania nowych rzeczy .

[wujomaro]

Żarliwa kłótnia rozwija myślenie, co prowadzi do odkrywania nowych rzeczy

Cóż, jeśli te nowe rzeczy nie są konkretnie związane z tematem tej dyskusji, to niech zostaną odkryte gdzie indziej.

[MatWojak]

Widzę nowego moderatora tutaj.

[SasQ]

Czyli nie rozumiesz czym jest dowód w matematyce.

Powtarzasz się jak zdarta płyta...

Ale to już nie będzie ten problem którego ten temat dotyczy...

Jakoś nie widzę w temacie ani w początkowych postach nic o wymaganiach problemu. Nie było ani słowa o tym, że ta trysekcja ma być w geometrii Euklidesa i jedynie z użyciem nieoznaczonej linijki i zapadającego się cyrkla. Dopiero porfirion zwrócił na to uwagę. Jeśli od innych wymagacie precyzji, najpierw sami zaświećcie przykładem ;P

a teraz odpowiedz mi na pytanie: jaką liczbą jest -1 w moim wzorze, jeśli nie rzeczywistą?

Rzeczywista

Brawo. Właśnie zaprzeczyłeś sam sobie. A konkretnie temu:

dziś też twierdzi się, że z ujemnych liczb rzeczywistych nie da się wyciągnąć pierwiastka.

bo jak widać, legalnie wyciągnąłem pierwiastek (kwadratowy, żeby nie było) z liczby rzeczywistej ujemnej. A to, że wynik tego pierwiastkowania jest już spoza zbioru liczb rzeczywistych, to już zupełnie inna para kaloszy.

przy traktowaniu liczb rzeczywistych jako podzbiór liczb zespolonych, bo inaczej się nie da.

Jak już mówiłem, nie chodzi mi o wynik, tylko liczbę pod pierwiastkiem, bo do niej się odwoływałeś w swojej wypowiedzi. A ona, jak sam przyznałeś, jest rzeczywista. Bez względu na to, jaką operację na niej wykonam i do jakiego zbioru będzie należeć jej wynik. Ja twierdziłem właśnie to: że choć liczba jest rzeczywista i ujemna, to zupełnienie zmieniając praw dotyczących liczb rzeczywistych ujemnych mogę sobie z niej wyciągnąć pierwiastek kwadratowy (ba, nawet dwa! ;> i mam to zagwarantowane), bo jest to możliwe. Zawsze było. Tylko nie zawsze o tym wiedzieliśmy.
I nie muszę do tego wcale zmieniać liczby \(\displaystyle{ -1}\) w zespoloną, bo ona już nią jest. Trzeba było tylko sobie to uświadomić. To jest właśnie ta "luka w prawie". Równanie w stylu \(\displaystyle{ x^2 = -1}\) samo w sobie nie jest sprzeczne, bo nie zawiera żadnych informacji o tym, czym jest \(\displaystyle{ x}\) (na ten problem właśnie zwracał uwagę Alonzo Church). Jeśli niejawnie zakładasz (nie zdając sobie z tego sprawy), że \(\displaystyle{ x}\) musi być rzeczywisty, to dopiero wtedy otrzymasz sprzeczność. Ale ta sprzeczność nie oznacza, że (jak twierdzisz) nie da się wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z \(\displaystyle{ -1}\), tylko że przy takich założeniach nie będzie on już liczbą rzeczywistą (a przecież nie musi, jeśli już wiesz, że nie musi, i świadomie zrezygnujesz z tego ograniczenia).

Dlaczego po prostu nie przyznasz się, że się walnąłeś w tym zdaniu? Tylko teraz się wijesz jak piskorz, pogrążając się jeszcze bardziej? Ego nie puszcza, co?

Przykład który podałeś jako "rzecz której nie można zrobić i jest to udowodnione, która jednak dziś jest możliwa" nie traktował tak liczb rzeczywistych.

Zgodzę się co do jednego: Jeśli ktośwymaga, by wynik był rzeczywisty (bo tylko taki zna), to logika słusznie mu odpowie, że to, co chce osiągnąć, jest niemożliwe. Nigdy temu nie przeczyłem.
Ale dalej podtrzymuję, że taka odpowiedź nie oznacza, że jest to niemożliwe w ogóle. I właśnie o to mi się cały czas rozchodzi. Ludzie robią często wiele nadmiernych założeń niejawnie, z czego nie zdają sobie sprawy, ponieważ nie znają jeszcze innych możliwości. To jest normalne, bo nie możesz brać pod uwagę tego, czego jeszcze nie wiesz. Oni z początku nie wiedzieli, że mogą istnieć jakieś inne liczby, i że wynik tego równania jest taką właśnie nową liczbą. Dlatego wydawało im się, że to równanie jest sprzeczne i niemożliwe do rozwiązania, i że ich dowód jest poprawny i wystarczający. Ale to dlatego, że jeszcze nie znali całej prawdy.
I podobnie może być z ową trysekcją kąta: według naszego obecnego stanu wiedzy jest to niemożliwe. Ale nie wiadomo, czy po drodze nie poczyniliśmy jakichś niejawnych założeń (z domysłu, nie znając innych możliwości do rozważenia), które uniemożliwiają nam dostrzeżenie rozwiązania. Rozwiązania, które oczywiście musi znajdować się poza aktualnym systemem (np. rozszerzać go). Jednym z takich rozwiązań (jak słusznie zauważył porfirion), jest konstrukcja "neusis" Archimedesa, która właśnie wykracza poza system, wprowadzając znaczoną linijkę. Z tą konstrukcją radzili sobie też Chińczycy za pomocą Origami. Więc niewykluczone, że mogą istnieć też inne rozwiązania. Być może nawet takie, które używają nieznaczonej linijki i zapadającego cyrkla, ale robią to w sposób, na który nikt dotąd nie wpadł. Dlatego zachowam jednak nieco pokory i nie będę prawił z ambony, żem jaśnie oświecony jedyny znawca prawdy ostatecznej i rozwiązanie nie istnieje. Bo nie jestem jasnowidzem.

bo dalej podchodząc do tego jak podchodzili tamci ludzie (czyli again, nie widzimy nic ponad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\))

Kiedy oni właśnie wiedzieli, że jest coś ponad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), bo przecież Cardano i Bombelli z powodzeniem posługiwali się tymi liczbami i wiedzieli, że nie są to liczby rzeczywiste. Ba, otwarcie o tym pisali! Rzecz w tym, że nie wierzyli w ich prawdziwość i nie potrafili się pogodzić z tymi faktami, bo liczby te przeczyły wszystkiemu temu, co dotąd wiedzieli na temat liczb.
Mówi się, że do odkrycia liczb urojonych doszło przy rozwiązywaniu równania takiego, jak podałem powyżej. Ale to nieprawda. Takie równania były uważane za sprzeczne, a rozwiązania ignorowane. I nie dlatego, że tym ludziom brakowało rozumu, ale właśnie dlatego, że mieli ku temu silne powody: Tych rozwiązań nie ma na wykresie. Nie da się ich też otrzymać rysując kółka (jak robił to Descartes dla rozwiązań równań kwadratowych). Aby dostrzec, gdzie te rozwiązania są, potrzebne jest trochę sprytu i wyobraźni. Dopiero równania sześcienne postawiły ich w obliczu prawdy: równanie sześcienne zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste, nawet jeśli dojście do niego wymaga używania liczb urojonych. Dopiero wtedy nie mogli już dłużej ignorować liczb urojonych. Ale mimo tego wszystkiego nadal niełatwo było im się z tym pogodzić. Nawet wielki Euler, który świetnie władał tymi liczbami (i zawdzięczamy mu słynną tożsamość \(\displaystyle{ e^{i \pi} - 1 = 0}\)), pisał o tych liczbach niezbyt pochlebnie [Euler 1770, par.134,135):
"And since all numbers which it is possible to conceive are either greater or less than 0, or are 0 itself, it is evident that we cannot rank the square root of a negative number amongst possible numbers and we must therefore say that it is an impossible quantity. In this manner we are led to the idea of numbers which from their nature are impossible, and therefore they are usually called imaginary quantities, because they exist merely in the imagination..."
W podobnym tonie pisał Descartes, Leibniz, i wiele innych mądrych głów. Widać tak wymagała poprawność polityczna i w pupci mieli prawdę matematyczną Jak widzisz, też zasłaniali się logiką i ich rozumowanie i wnioskowanie było całkiem słuszne. Niestety założenia były błędne.

Popatrz tylko, jak wyglądają odpowiedzi w tym temacie: wszyscy tylko na to czekają i już sobie ostrzą zęby,

Wszyscy, czyli Ty też?

Żałosne... ;-o Jeszcze się przyczep interpunkcji, albo mojego avatara. Bo tej puli niskich chwytów jeszcze nikt nie wykorzystał...

Tego nie rozumiem, w jaki sposób te zdania się wykluczają?

No o tym cały czas mówię: że się nie wykluczają. Też nie rozumiem, dlaczego by miały, i dlaczego cały czas usiłuje mi się to wmówić (jak i wiele innych rzeczy, byle tylko móc użyć ukochanego "mylisz się" lub "nie rozumiesz").

Nie myl pierwiastka arytmetycznego z zespolonym.

Nie mylę. Korzystam z faktu, że nikt nie określił jaki to ma być pierwiastek. Wziąłem więc taki, jaki mi pasuje. Ale nawet gdy użyjemy pierwiastka zespolonego, a \(\displaystyle{ -1}\) pod pierwiastkiem uznamy za zespolone, to w tym konkretnym przypadku owo \(\displaystyle{ -1}\) jest także rzeczywiste. Od tego nie da się uciec, choćby nie wiem jakie akrobacje wymyślać na obronę swego Ego.
Ale oczywiście, surprajs surprajs, znów to ja coś "mylę" ;-J Obym mylił się jak najczęściej, przynajmniej się czegoś uczę.

Ech, no nic... Skoro ktoś musi się poddać (bo inaczej jak widzę nie wybrniemy z tego impasu), to niech to będę ja, bo i tak nie mam nic do stracenia, a już mnie znudziło na dziś walenie głową w beton. Popatrzę sobie, jak z braku innego kozła ofiarnego zaczniecie zjadać swoje własne ogony. (Edit:Co widzę już nastąpiło ) Żegnam się z państwem wiecznie nieomylnych. Przyjemnego pompowania życzę.

[Lorek]

Popatrz tylko, jak wyglądają odpowiedzi w tym temacie: wszyscy tylko na to czekają i już sobie ostrzą zęby,

Wszyscy, czyli Ty też?

Żałosne... ;-o Jeszcze się przyczep interpunkcji, albo mojego avatara. Bo tej puli niskich chwytów jeszcze nikt nie wykorzystał...

Jeśli od innych wymagacie precyzji, najpierw sami zaświećcie przykładem ;P

;>

Ech, no nic... Skoro ktoś musi się poddać (bo inaczej jak widzę nie wybrniemy z tego impasu), to niech to będę ja, bo i tak nie mam nic do stracenia, a już mnie znudziło na dziś walenie głową w beton. Żegnam się z państwem wiecznie nieomylnych. Przyjemnego pompowania życzę.

Ktoś tu wcześniej pisał o przemądrzałym podejściu, szufladkowaniu itd...



Że też Ci się chciało tworzyć takie wywody, zamiast po prostu napisać "a nieprawda, jest możliwa! A dlaczego? Bo nieprecyzyjnie przedstawiliście problem!"

[Adifek]

\(\displaystyle{ i = \sqrt{-1}}\)

Nieprawda. Co najwyżej \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bo \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = \left\{ i,-i\right\}}\).

A co do reszty tematu: LOL.

Coś, co zostało raz poprawnie udowodnione będzie ZAWSZE prawdziwe przy tych samych założeniach. Jeśli zmienimy założenia (czyli np. zmienimy ciało), to już nie, ale wtedy to już jest zupełnie co innego, nowe twierdzenie, nowy twór matematyczny

[Ponewor]

@SasQ Może i mało to eleganckie, ale nie bardzo nie chce mi się odnosić do bzdur, które wypisywałeś odnośnie mojej wypowiedzi. Tylko jeden drobiażdzek

Ale wracając do tematu: Gdy ktoś mi mówi, że czegoś się "nie da", zawsze pytam "Dlaczego? Co stoi na przeszkodzie?" A to dlatego, że każde "nie da się" ma zawsze jakieś warunki, które muszą zostać spełnione, żeby się "nie dało". I gdy ktoś tych warunków nie spełni (czy to przez przypadek, czy świadomie wybierając inną drogę dookoła), to nagle się okazuje, że już się da
Edit: Tu ukłon w stronę porfiriona: słuszna uwaga. To jest właśnie w stylu tego, o czym mówię: warunki, które trzeba było spełnić, żeby się "nie dało". W innych okolicznościach się da.

No zmieniając warunki wykroczysz poza konstrukcję klasyczną. Kropka. Udowodniono, że niemożliwa jest taka konstrukcja. wujomaro wyraźnie napisał

Interesuję się problemami starożytnej matematyki greckiej. Problem dejijski, kwadratura koła i trysekcja kąta...

te problemy to nierozwiązywalne problemy związanie z konstrukcją klasyczną.