Interpretacja mnożenia

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Interpretacja mnożenia

Post autor: krl »

Chciałbym odświeżyć zamknięty temat:
https://www.matematyka.pl/417786.htm
w związku z artykułem:
, ... &s=BoxLSMT
W moim odczuciu we wspomnianym wyżej temacie autor nie uzyskał odpowiedzi na pytanie. Dyskutanci wypowiadali się licznie. Najbardziej zgodne z tym, jak kiedyś (dawno temu) mnie uczono, były odpowiedzi Elayne z 2 lutego 2017 i Powerdragona z 27 marca 2017. Zgadzają się one również z tradycyjną definicją mnożenia: w wyrażeniu \(\displaystyle{ a\times b}\) czynnik \(\displaystyle{ a}\) to mnożna (czyli element "bierny"), a \(\displaystyle{ b}\) to mnożnik (czyli element "czynny").
Oczywiście to, w jaki sposób realnie interpretujemy działanie mnożenia liczb naturalnych, to kwestia umowy (konwencji). Przykładowo: zarabiam 2 tysiące złotych na miesiąc przez 3 miesiące. Łącznie zarobię więc 3 razy po 2 tysiące, czyli \(\displaystyle{ 3\times 2}\) tysięcy złotych (tak wydaje się bardziej naturalne), nie zaś 2 tysiące po 3 razy, czyli \(\displaystyle{ 2\times 3}\), jak sugeruje poprzedni akapit.

Jak widać w linku powyżej, niektórzy nauczyciele rozróżniają kolejność czynników w mnożeniu przy matematycznym opisie realnych sytuacji, co ma wpływ na oceny uczniów.
Moje pytanie:
Czy takie postępowanie nauczycieli związane jest z jakąś powszechnie obowiązującą konwencją przyjętą oficjalnie w naszym systemie nauczania? wykładnią? Czy też może zależy ono od widzimisię danego nauczyciela?
Prosiłbym o merytoryczne odpowiedzi, z uzasadnieniem (nauczony doświadczeniem z tematu http://www.matematyka.pl/417786.htm).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: a4karo »

To zróbmy takie doświadczenie: każmy dziecku narysować na kwadratowej kartce pięć rzędów kółek , w każdym rzędzie po trzy kółka. Ocena zadania będzie zależała od tego, czy nauczyciel obróci kartkę o 90 stopni, czy nie?
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: krl »

Ponawiam prośbę o merytoryczne, uzasadnione odpowiedzi. Rozumiem, że można przyjmować różne konwencje, a nawet że można wskazać zasadniczą równoważność tych różnych konwencji. Pytanie dotyczy czegoś innego. Wypowiedź a4karo jest nie na temat.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: a4karo »

Jak już się nauczycielowi znudzi praca za 2300 (lub, jak niektórzy podają za 4800) i pójdzie do Biedronki na kasę, to może mu się trafić, że kaseta z pieniędzmi się wysunie i utarg spadnie na ziemię.
Pozbiera banknoty, poukłada w kupki i powie, że ma 7 banknotów stuzłotowych, czyli \(\displaystyle{ 7\times 100}\).

A wieczorem będzie robił raport kasowy i w tabelkę, gdzie w pierwszej kolumnie będą nominały, wpisze przy setkach w drugiej kolumnie ilość 7. I wtedy będzie miał \(\displaystyle{ 100\times 7}\) i sam sobie postawi dwójkę z matematyki.

Pytanie o to, czy \(\displaystyle{ ab=a+a+\dots+a}\) czy \(\displaystyle{ ab=b+\dots+b}\) na gruncie szkoły podstawowej jest o tyle pozbawione sensu, że nie wprowadza się tam (i słusznie) precyzyjnej definicji działania. A jak już się to zrobi, to wykazanie równoważności obu definicji jest banalne (w cytowanym przez Ciebie wątku przywołuję książkę Sierpińskiego.

A o "widzimisiach" nauczycieli dyskutować trudno.



A jeżeli dyskutować o roli mnożnej i mnożnika, to inteligentny uczeń szybko zorientuje się, że rozróżnienie tych dwóch obiektów nie ma żadnego praktycznego znaczenia i będzie się dziwił po co takie obiekty w ogóle wprowadzono. Zdziwienie się pogłębi, gdy później pozna termin "czynnik", bo skoro mnożna=czynnik i mnożnik=czynnik to mnożna=mnożnik.
Ja sobie nie przypominam, żeby moi nauczyciele (a miałem dobrych) przywiązywali jakąkolwiek wagę do tego zagadnienia.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: Premislav »

Może warto przejrzeć podstawę programową z matematyki, obecną i ostatnie, które zostały zmienione, a także zaaprobowane przez MEN podręczniki nauczania początkowego. Jeżeli tam nie ma nic o mnożnej i mnożniku (nie wiem, bo nie sprawdzałem dokładnie, przejrzałem tylko

Kod: Zaznacz cały

https://archiwum.men.gov.pl/wp-content/uploads/2011/02/6b.pdf
i i tam niczego takiego się nie dopatrzyłem, ale może nieuważnie patrzę), to należy przyjąć, że jest to „widzimisię" niektórych nauczycieli lub ślad po dawno zarzuconej oficjalnej konwencji (która występowała w polskich szkołach, gdy obecni nauczyciele się kształcili).
To też nie jest stricte wypowiedź w temacie, ale może zaznaczenie, gdzie można szukać podstawy do argumentacji (bo jeśli ma być oficjalne, to nie na zasadzie „my z Heńkiem znamy naprawdę wielu nauczycieli i oni robili tak" albo „no, to logiczne, wszyscy wiedzą, jak jest").
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: krl »

Wreszcie merytoryczna wypowiedź... Tak, zajrzenie do oficjalnej podstawy programowej to dobry pomysł (dziękuję za linki). Zajrzałem, tam nie ma aż takich szczegółów, jak interpretacja mnożenia.
Możliwe, że jest to więc pozostawione do uznania nauczyciela (w ramach zgodnych ogólnie z matematyką).
Problem nie jest wydumany, jak widać z linku do artykułu. Dotyka konkretnych uczniów. Widzimisię nauczyciela (choć brzmi pejoratywnie) nie musi być złe. Mogę sobie wyobrazić argumentację, że by uzasadnić przemienność mnożenia liczb naturalnych, najpierw trzeba jakoś to mnożenie określić. I nie mam tu na myśli formalnej definicji, lecz określenie przez odniesienie do przykładów z życia (odpowiednie dla dziecka).
Zawsze mnie intrygowało, że w języku potocznym "mnożna" to ten drugi czynnik w iloczynie, zaś w podejściu formalnym ten pierwszy. Gdy mnożenie jest przemienne, nie ma problemu, jednak gdy przechodzimy do mnożenia liczb porządkowych, to problem już jest, kolejność jest istotna (mnożna w mnożeniu liczb porządkowych to ten pierwszy czynnik).
Akurat w linkowanym artykule nauczyciel oczekuje od ucznia potocznej interpretacji mnożenia (mnożna jako drugi czynnik). W pewnym sensie to dobrze, bo to jest ta bardziej naturalna interpretacja. Protesty podnoszą się, bo przecież "mnożenie (liczb naturalnych) jest przemienne i wynik będzie ten sam". No tak, ale czy zależy nam, by uczeń rozumiał związek matematyki z rzeczywistością, czy by tylko umiał operować znaczkami nie rozumiejąc ich sensu? (To szczególnie widać w zadaniu 4 w skanie ocenianej pracy w artykule). Więc może taka "upierdliwość" nauczyciela ma sens?
Liczyłem (i nadal liczę) na to, że może np. nauczyciele zaglądający na to forum się wypowiedzą?
Przypuszczam, że nawet jeśli formalnie w podstawie programowej takie detale nie są określone, to jednak może to być określone w "dydaktyce nauczania matematyki (wczesnoszkolnej)". I wtedy w jakimś sensie jest to podstawa dla działań nauczyciela.
Może też być tak, że takie szczegóły są rozstrzygane w konkretnych podręcznikach (akceptowanych przez MEN), i nauczyciel, wybierając dany podręcznik, może przyjąć określone rozwiązanie. Chętnie bym się dowiedział, jak to jest.
W każdym razie wolałbym, gdyby artykuł na ten temat (linkowany) był głębszy, zawierał kompetentną analizę, a nie tylko gonił za tanią sensacją.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Interpretacja mnożenia

Post autor: Elayne »

Przypuszczam, że nie ma oficjalnej konwencji z przyczyn historycznych - w handlu spotykali się ludzie z różnych środowisk, kultur, o różnym wykształceniu i obracających w różnych środowiskach.
Dla jednych było wygodnie myśleć np. tak: w tym miesiącu zarobię ze 2 tysiące, w następnym miesiącu to samo a w kolejnym też prawdopodobnie tyle zarobię, mam zatem 2 tyś. po 3, co daje razem jakieś 6 tyś. Dla kogoś innego, taki tok myślenia jest nie do przyjęcia.
Co do sprawdzianu. O ile w zadaniu drugim można by zrozumieć, że nauczyciel oczekiwał jednej z takich odpowiedzi:
\(\displaystyle{ 10 \text{zł} \times 6 = 60 \text{zł}; \\
6 \times 10 \text{zł} = 60 \text{zł};}\)

To poprawianie zadania pierwszego jest dla mnie niezrozumiałe. Przypomina to historię z nauczycielką która stawiała najniższą ocenę lub nie uznawała poprawnie rozwiązanego zadania przez ucznia [np. przy tablicy] gdy uczeń wykonał mnożenie lub dzielenie na palcach lub gdy rozwiązał zadanie w sposób niestandardowy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: Jan Kraszewski »

Ja bym dodał, że mówimy o nauczaniu wczesnoszkolnym, a te prowadzą osoby po studiach pedagogicznych, nierzadko same będące na bakier z matematyką. Takie osoby są bardziej podatne na uleganie przekonaniom, że jest jedyna słuszna wersja odpowiedzi (a to, która wersja jest wg nich słuszna niekoniecznie wynika z głębszych rozważań na ten temat).

Gdy moje dzieci były jeszcze w klasach 1-3, to też zdarzało im się męczyć z dziwnymi poleceniami z matematyki, które dla nich (i dla mnie) były zupełnie sztuczne.

JK
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: krl »

A ja bym dodał, że nauczanie wczesnoszkolne matematyki ma swoja specyfikę, związaną z dostosowaniem do poziomu rozwoju umysłowego dziecka. Spojrzenie na działania arytmetyczne z perspektywy dorosłego i próba wtłoczenia takiego spojrzenia dzieciom "na dzień dobry" raczej nie jest dobra. (Np. używanie abstrakcyjnego argumentu "mnożenie jest przemienne".)
Znalazłem ciekawy tekst Zbigniewa Semadeniego o konstruktywizmie w nauczaniu matematyki wczesnoszkolnej (niestety, dostępny tylko w pamięci cache):

... irefox-b-d

Jest tam ciekawa obserwacja związana z przykładem podanym przez a4karo:
To zróbmy takie doświadczenie: każmy dziecku narysować na kwadratowej kartce pięć rzędów kółek , w każdym rzędzie po trzy kółka. Ocena zadania będzie zależała od tego, czy nauczyciel obróci kartkę o 90 stopni, czy nie?
Można by pomyśleć, że tego typu sztuczka to świetna ilustracja przemienności mnożenia. Niekoniecznie. Semadeni przytacza wyniki badań na ten temat. Niektóre dzieci widząc układ 4 rzędów pomidorów po 5 pomidorów w rzędzie liczą je tak: Najpierw liczą pomidory w pierwszym rzędzie (5), następnie liczą pomidory w pierwszej kolumnie (4), a następnie mnożą te liczby. Nie liczą wierszy. To może być dla nich za trudne. Koncepcja wiersza na takim rysunku to abstrakcja. Klasa abstrakcji pewnej relacji równoważności, brzmi znajomo? Pamiętacie, jak trudne jest to dla studentów I roku?
Semadeni pisze trochę o wprowadzaniu pojęcia mnożenia. Podkreśla potrzebę rozumienia konkretnych przykładów. Choć z perspektywy "dorosłego" przemienność mnożenia (liczb naturalnych) wydaje się oczywista, a w związku z tym postępowanie nauczyciela opisane w artykule dziwne i niezrozumiałe, to dla mnie sprawa nie jest oczywista. Jak pisze Semadeni, wg Piageta "logika dziecka" jest różna od "logiki dorosłego". W nauczaniu wczesnoszkolnym nauczyciel powinien brać to pod uwagę.

Zasięgnąłem opinii specjalistki od nauczania matematyki wczesnoszkolnej. Oto ona:

"Kiedy po raz pierwszy dziecko spotyka się w szkolnej edukacji z
mnożeniem, pokazywane jest ono jako skrócony zapis dodawania
(powiązanie mnożenia ze znanym dzieciom działaniem matematycznym –
dodawaniem). Wówczas kolejność zapisu czynników ma znaczenie – 6 x 4
to skrócony zapis dodawania sześciu czwórek (dodawaliśmy 6 czwórek).
Jednak celem nauczania jest ukształtowanie u uczniów pojęcia mnożenia,
jako operacji na liczbach. Dlatego też bardzo szybko uzmysławia się
dzieciom przemienność mnożenia.
W odniesieniu do konkretów oznacza to, że przy czterech bluzkach po 6
guzików, to to samo, co po sześć guzików przy każdej z 4 bluzek. A
zatem kolejność zapisu czynników może być dowolna.
Uważam, że sposób punktowania zadań przez nauczycielkę jest
niesłuszny. Pokazuje on, że nauczycielka uważa, że uczeń powinien
funkcjonować na poziomie najprostszego rozumowania, że mnożenie jest
skróconym zapisem dodawania, natomiast uczeń zdaje się być w swoich
rozumowaniach na poziomie wyższym – mnożenie jest operacją na
liczbach i jest przemienne.

Poza argumentami matematyczno-metodycznymi, dodać należy, że takie
ocenianie rozwiązania zadań przez nauczycielkę, przynosi uczniom szkody
natury psychologicznej. Zatem jest ze wszech miar szkodliwe."

Jak widać, specjalistka ta uważa, że \(\displaystyle{ 6\times 4}\) to (na najbardziej podstawowym poziomie) skrócony zapis sumy sześciu czwórek (tak, jak to się rozumie w języku naturalnym, polskim).
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: kruszewski »

Sztafeta, bieg rozstawny.
4 x 100 metrów, czy 100 metrów cztery razy?

Zamówienie w restauracji:
Pięć piw, cztery kawy i trzy herbaty, czy piwo pięć razy, kawa cztery razy i herbata trzy razy?

Myślę, że mnożenie liczb "bezpłciowych" może być przemiene, zaś liczby "płciowej" przez "bezpłciową" to branie "płciowych" bezpłciową ilość razy. Biorę 3 x banknot 10 złotowy, nie zaś przeciwnie.
Mnożenie to czynność brania ileś razy czegoś tam.


5 x 2 jajka = 10 jajek, ale to nie to samo co wzięcie pięciu jajek dwa razy, bo kto ma ich pięć?.
opolree

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: opolree »

Łał, w końcu mnie zrozumiano :), dzięki za ten wątek.
opolree

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: opolree »

Więc, formalna definicja mnożenia liczb naturalnych a*b = a+a+a.... b krotnie, nie odwrotnie.
A użycie "potoczne" to dowolna interpretacja, chociaż jest sprzeczna z formalizmem i będzie to ok, nie trzeba używać formalnych ustaleń, aby np. zadanie było ok, odniesienie mnożenia do przedstawiania ilości czegoś idt.?
opolree

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: opolree »

Czyli formalnie a*b to b krotna suma a, czy popełniam błąd jeśli wykonuję działanie inaczej niż formalna definicja czy nie(z punktu widzenia formalnego, oraz powyższej treści)?

Wydaje się, że jeżeli takowy formalizm istnieje to jest to źle w myśl tego formalizmu.

Albo formalnie, dopóki nie mówimy o przemienności mnożenia to jest właśnie tak, że a*b to b krotna suma a, a przy przemienności to bez znaczenia.

W ogóle się zastanawiam jeszcze czy taka formalna definicja, że a*b to b krotna suma a istnieje, w sumie to nigdzie czegoś takiego nie znalazłam.
opolree

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: opolree »

Proszę o zdanie, pomoc w zrozumieniu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Interpretacja mnożenia

Post autor: Jan Kraszewski »

Ten temat jest ewidentnie wyczerpany. Zamykam.

JK
Zablokowany