Całkowanie po zbiorach miary zero

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Całkowanie po zbiorach miary zero

Post autor: Milczek » 16 wrz 2021, o 16:05

Szanowni Państwo,

jestem amatorem matematycznym który tylko stara się zrozumieć pewne rzeczy, a i niektóre w matematyce interesują mnie bardziej. Takim obszarem jest teoria mnogości, teoria miary tematy z tym powiązane.

Z punktu widzenia teorii miary i analizy funkcjonalnej bądź rachunku prawdopodobieństwa - całkowanie po zbiorach miary zero jest "pomijalne" - całka wynosi zero i tyle, funkcja na tym zbiorze może szaleć ale nieuniknione \(\displaystyle{ \pm \infty \cdot 0}\) daje nam \(\displaystyle{ 0}\).

Chciałbym zapytać was drodzy użytkownicy - czy są może jakieś istotne fakty, twierdzenia, może całe dziedziny matematyki - gdzie musimy całkować w sensie Lebesgue'a i zbiory po których tam całkujemy mają miarę \(\displaystyle{ 0}\) i jest to problematyczne - bądź może są jakieś nieoczekiwane mniejsca gdzie zbiory miary zero odgrywają istotną rolę ?

Szukam tego "nieoczekiwanego" pojawienia się zbiorów miary zero po prostu - bo im więcej czytam o teorii Lebesgue'a i rechunku prawdopodobieństwa - to widzę że wszystko sprowadza się do dobrego użycie twierdzień o przejściach granicznych oraz dobrym używaniu pojęcia miary - trochę zaczynam się zawodzić bo nie chciałbym aby taki ciekawy kawałek matematyki kończył się na tego typu zastosowaniach.

Może coś w stylu zbiory miary "prawie-zero" albo jakieś modyfikacje gdy byśmy chcieli otrzymywać miarę 0 zbiorów - no nie wiem, rzucam tylko myslami bo nie wiem gdzie się zaczepić, może ktoś z Państwa spotykał się z niestandardowymi (nie książkowymi) tematami w teorii miary i mógłby rzucić kilkoma hasłami?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 909
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 56 razy

Re: Całkowanie po zbiorach miary zero

Post autor: Jakub Gurak » 21 wrz 2021, o 10:39

Podzbiór zbioru miary \(\displaystyle{ 0}\) nie musi być nawet mierzalny. :o

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Re: Całkowanie po zbiorach miary zero

Post autor: Milczek » 22 wrz 2021, o 20:54

Jakub Gurak pisze:
21 wrz 2021, o 10:39
Podzbiór zbioru miary \(\displaystyle{ 0}\) nie musi być nawet mierzalny. :o
Co to znaczy że podzbiór nie jest mierzalny ? Mierzalne to są funkcje - to wiemy. Zbiór mierzalny w twoim poście to pewnie taki który należy do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała?

No to jeśli weźmiesz zbiór \(\displaystyle{ X}\) który ma miarę zero i jego dowolny podzbiór to wiemy że taka rodzina podzbiorów tworzy sigma ciało więc jest zbiorem "mierzalnym".

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3377
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1163 razy

Re: Całkowanie po zbiorach miary zero

Post autor: Janusz Tracz » 23 wrz 2021, o 00:20

Milczek pisze:
22 wrz 2021, o 20:54
No to jeśli weźmiesz zbiór \(\displaystyle{ X}\) który ma miarę zero i jego dowolny podzbiór to wiemy że taka rodzina podzbiorów tworzy sigma ciało więc jest zbiorem "mierzalnym".
Taka rodzina to znaczy jaka konkretnie? Z tego co piszesz wynika, że rozpatrujesz jakąś przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ \left( \Omega,\Sigma,\mu\right) }\) i zbiór \(\displaystyle{ X\in \Sigma}\) taki, że \(\displaystyle{ \mu(X)=0}\). Twierdzisz, że dla każdego \(\displaystyle{ A \subset X}\) rodzina \(\displaystyle{ \left\{ X,A\right\} }\) jest pewnym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem? To zwykle nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało.
Milczek pisze:
22 wrz 2021, o 20:54
tworzy sigma ciało więc jest zbiorem "mierzalnym".
To jest dziwna implikacja. Aby zbiór był \(\displaystyle{ \red{\Sigma}}\)-mierzalny potrzeba i wystarcza aby był elementem \(\displaystyle{ \red{\Sigma}}\), gdzie \(\displaystyle{ \red{\Sigma}}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało. Można mieć w ręce zbiór mierzalny i nic nie wiedzieć o jego mierze bo miara może być w ogóle niezdefiniowana.
Jakub Gurak pisze:
21 wrz 2021, o 10:39
Podzbiór zbioru miary \(\displaystyle{ 0}\) nie musi być nawet mierzalny. :o
Ok ale chyba nikt nie całkuje po miarach niezupełnych (nawet nie wiem czy taka całka miała by wtedy sens)? Nawet jeśli miara jest niezupełna to się ją modyfikuje aby stała się zupełna wtedy podzbiory miary zero też są miary zero.
Milczek pisze:
16 wrz 2021, o 16:05
Chciałbym zapytać was drodzy użytkownicy - czy są może jakieś istotne fakty, twierdzenia, może całe dziedziny matematyki - gdzie musimy całkować w sensie Lebesgue'a i zbiory po których tam całkujemy mają miarę \(\displaystyle{ 0}\) i jest to problematyczne - bądź może są jakieś nieoczekiwane mniejsca gdzie zbiory miary zero odgrywają istotną rolę ?
To jest zbyt ogólne pytanie. Zbiory miary zero są w pewnym sensie małe i sens tej małości dobrze się komponuje z pojęciem całkowania.

Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 433
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 138 razy

Re: Całkowanie po zbiorach miary zero

Post autor: Slup » 24 wrz 2021, o 11:56

Janusz Tracz pisze:
23 wrz 2021, o 00:20
Ok ale chyba nikt nie całkuje po miarach niezupełnych (nawet nie wiem czy taka całka miała by wtedy sens)? Nawet jeśli miara jest niezupełna to się ją modyfikuje aby stała się zupełna wtedy podzbiory miary zero też są miary zero.
Całkę w sensie Lebesgue'a można zdefiniować dla dowolnej przestrzeni z miarą \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\).

Natomiast ze względu na fakty wymienione niżej z punktu widzenia całkowalności nie ma znaczenia, czy korzystamy z oryginalnej miary czy jej uzupełnienia. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ (X,\overline{\Sigma},\overline{\mu})}\) jest uzupełnieniem \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\), to mamy izometrię liniową
\(\displaystyle{ L^1(\Sigma, \mu) \cong L^1(\overline{\Sigma},\overline{\mu})}\)
Innymi słowy dla każdej \(\displaystyle{ \overline{\Sigma}}\)-mierzalnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) całkowalnej względem \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\) istnieje \(\displaystyle{ \Sigma}\)-mierzalna funkcja \(\displaystyle{ g_f}\) całkowalna względem \(\displaystyle{ \mu}\) (a więc też całkowalna względem rozszerzenia \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\)) taka, że
$$\int_X|g_f - f|d\overline{\mu} = 0$$
oraz każde dwie takie funkcje leżą w tej samej klasie w \(\displaystyle{ L^1(\Sigma, \mu)}\).

Przy czym izometria zachodzi też wówczas, gdy przez \(\displaystyle{ L^1(\Sigma,\mu)}\) rozumiemy klasy równoważności funkcji silnie \(\displaystyle{ \Sigma}\)-mierzalnych całkowalnych względem \(\displaystyle{ \mu}\) o wartościach w ustalonej przestrzeni Banacha (wtedy mówimy o całce Bochnera lub Bochnera-Lebesgue'a).
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ