Lemniskata Bernoulliego (Jacoba)- to krzywa płaska, będąca zbiorem tych punktów P. których iloczyn odległości od dwóch punktów zadanych \(\displaystyle{ F_1(-a,0)}\) i \(\displaystyle{ F_2(a,0)}\) jest stały i równy \(\displaystyle{ a^2}\). Lemniskatę opisuje równanie \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)}\).
Lemniskata, której kształt przypomina "leżącą ósemkę" przecina oś ox trzech punktach. Punkty \(\displaystyle{ F_1}\) i \(\displaystyle{ F_2}\) zwie się ogniskami lemniskaty
Metoda Bernoulliego (Daniela)- metoda przybliżania największego -co do wartości bezwzględnej- pierwiastka algebraicznego, tj równania postaci:
\(\displaystyle{ a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0=0}\)
Prawo Bernoulliego (Daniela)- prawo mechaniki płynów wiazace predkość płynu \(\displaystyle{ v}\), ciśnienie \(\displaystyle{ p}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ h}\) cząśtki nad płąszczyzną odniesienia (\(\displaystyle{ \gamma}\) oznacza cięza własciwy cieczy):
\(\displaystyle{ h+\frac{p}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}=const}\)
Liczby Bernoulliego (Jacoba)- współczynniki \(\displaystyle{ B_n}\) rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji \(\displaystyle{ \frac{x}{e^x -1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{x^n}{n!}}\) dla \(\displaystyle{ 0 <|x| <2\pi}\). Pojawiają sie po raz pierwszy a w Ars Conjectandi z 1714 r. Liczby te są ważne, m in, gdyż wystepują w rozwinięcia w szereg potęgowy funkcci tg, tgh i innych oraz w przyblizonym wzorze na funkcję Gamma Eulera
Nierówność Bernoulliego (Jacoba)- gdy \(\displaystyle{ x>-1}\), to \(\displaystyle{ (1+x)^a \leq 1+ax}\) dla \(\displaystyle{ 0<a<1}\) i \(\displaystyle{ (1+x)^a \geq 1+ax}\) dla \(\displaystyle{ a>1}\)
Równanie Bernoulliego (Jacoba)- równanie różniczkowe postaci
\(\displaystyle{ a_0(x) y^{\prime} + a_1(x) y=f(x)y^r}\), gdzie \(\displaystyle{ r \neq 0}\) i \(\displaystyle{ r \neq 1}\) prz czym \(\displaystyle{ a_0(x)}\) i \(\displaystyle{ a_1(x)}\) sa to funkcje ciągłe. r. B mozna sprowadzić do równania liniowego, kładąc \(\displaystyle{ y^{1-r}=z}\)
Schemat Bernoulliego (Jacoba)- seria n powtórzeń tego samogo eksperymentu, które może zakończyć się jednym z dwóch wyników: sukcesem lub porażką. Prawdopodobieństwo zajścia k sukcesów w serii n prób wyraza wzór:
\(\displaystyle{ p_n(k)={n \choose k} p^kq^{n-k}}\), gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie, zaś \(\displaystyle{ q=1-p}\) jest prawdopodobieństwem porażki.
Prawo wielkich liczb Bernoulliego (Jacoba)- mówi, iż z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 częstość pewnego zdarzenia losowego będzie się różniła o dowolnie małą wielkość - od jego prawdopodobieństwa, -przy dostatecznie dużej liczbie prób.
Wielomiany Bernoulligo- wielomiany postaci \(\displaystyle{ B_n(x)=\sum_{s=0}^{n} {n \choose s} B_s x^{n-s}}\) dla n=0,1,... gdzie \(\displaystyle{ B_s}\) są liczbami Bernoulliego. Nazwa wprowadzona przez J. L . Raabego. Spełniają m.in dwie ciekawe rekurencje \(\displaystyle{ B_n^ {\prime} (x)=nB_{n-1}(x)}\) i \(\displaystyle{ B_n(x)= B_n(0)+ n \int_{0}^x B_{n-1} (x)}\)
Metoda Bernoulliego (Daniela)-Eulera, - służaca do rozwiązywania pewnych typów równań algebraicznych i związana ze wzorem: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n =\frac{P(x)}{Q(x)}}\), gdzie P i Q są to wielomiany (spełniajace pewne dodatkowe założenia).
Lemniskata
Bracia Jacob i Johann
Drzwo rodu Bernoullich
(zaczerpniete z ksiazki pt "Epsilon", wyd Omega)