Ze względu na swoja pomysłowość oraz intuicję matematyczną nazywany był też czarodziejem z Budapesztu bądź też „nałogowym matematykiem”.Matematyk to narzędzie służące do zamieniania kawy w twierdzenie
Ekscentryczny Erdős znalazł się w top five matematyków (Euler, Cauchy, Cayley i Sierpiński...) autorów, którzy najwięcej opublikowali…
Najważniejsi współpracownicy Erdősa:
Anning, Bollobás, de Bruijn, Fejér, Gallai, Kalmár, Kátai, Lovász, Mordell, Rényi, Szegő, Szekeres, Szemerédi, Turán.
Zainteresowania Erdősa były różnorodne, ale głownie to była
kombinatoryka (np. twierdzenie Erdősa Ko Rado) oraz teoria grafów jak i algebra oraz geometria, grafy (grafy losowe, twierdzenie Erdösa-Chvátala itd). Ale także analiza, teoria aproksymacji, i inne. Choć wydaje się to niemożliwym jest on autorem ok. 1500 artykułów (w tym m.in. z 485 współautorami).
Erdős bardzo wiele przemieszczał się po całym świecie. Znany był z tego, że często stawiał ciekawe problemy matematyczne, czasami sam nie mógł ich rozwiązać. Opublikował ogromną liczbę artykułów napisanych wraz z innymi matematykami. W związku z tym powstał element matematycznego folkloru, tak zwana liczba Erdősa
Liczba Erdősa
Księga - to według Erdősa szczególne miejsce, w którym spisane są dowody wszystkich twierdzeń;Sam Erdős ma liczbę Erdősa równą zero. Około 500 matematyków ma liczbę Erdősa „jeden”- to znaczy, że maja artykuł wspólnie z Erdősem. Około 5600 matematyków ma liczbę Erdősa „dwa”. Pisali oni coś wspólnie z kimś, kto pisał wspólnie z Erdősem. …wszyscy mający Fieldsa za osiągnięcia w matematyce mają liczbę Erdősa poniżej „sześciu”. Ronald Graham ma liczbę Erdősa „jeden”, liczba Erdősa Andrew Wilesa wynosi „cztery”. Nikt ani wczesniej, ani też później nie opublikował tylu co Paul Erdős artykułów pisanych wspólnie z innymi matematykami
Słowniczek Erdősa!Pan Bóg ma pozaskończoną Księgę, w której zapisane są wszystkie dowody matematyczne i gdy jest dla nas szczególnie łaskawy, pokazuje nam jej mały fragment.
„epsilon” - początkujący matematyk
„władcy” - kobiety
„tortury” - egzamin
„hałas” - muzyka
„trucizna” - alkohol
„faszysta” - ktoś kto przeszkadza; „SF”=Bóg
itd.
Uwagi: więcej o Erdősie w filmie „N is a number”na „E” jest trzech matematyków: Euklides, Euler i Erdős...
Zadanie „inicjacyjne” Erdősa (dla „epsilonów”)
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A=\{1,2,...,2n \}}\) i z tego zbioru wybrano w dowolny sposób liczby \(\displaystyle{ a_1, .... a_n, a_{n+1}}\). Wtedy wśród tych liczb są dwie takie, że jedna z nich jest dzielnikiem drugiej.
Rozwiązanie: proste użycie zasady szufladkowej
poniższy wynik jest też raczej elementarny ...
Twierdzenie (Erdős)
Jeśli \(\displaystyle{ f: \NN \to \RR}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ f(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(mn) = f(m)+f(n)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n}\); to istnieje \(\displaystyle{ M>0}\) taka że \(\displaystyle{ f(n)=M \ln (n)}\)
Niektóre rezultaty Erdősa w teorii liczb:
Erdős znalazł elementarny dowód twierdzenia Czebyszewa o tym, że gdy \(\displaystyle{ n>1}\) to przedziale \(\displaystyle{ (n, 2n)}\) jest choć jedna liczba pierwsza. Wykazał też, że „iloczyn kolejnych liczb całkowitych dodatnich nigdy nie jest kwadratem (z E. Rigge’m) ani żadną inną potęgą (z J. Selfrigde)”, tzn. że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z, k}\):
\(\displaystyle{ (x+1)…(x+k) = y^z}\) oraz \(\displaystyle{ z \geq 2}\) oraz \(\displaystyle{ k \geq 2}\).
W teorii liczb pierwszych wykazał np. że \(\displaystyle{ P(n+1) \geq P(n)}\) (gdzie \(\displaystyle{ P(n)}\) to ilość przedstawień \(\displaystyle{ n}\) jako sumy liczb pierwszych). Razem z L. Kalmárem udowodnili, że \(\displaystyle{ p_n^2 > p_{n-1} p_{n+1}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) jak i \(\displaystyle{ p_n^2 < p_{n-1} p_{n+1 }}\) też dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\). Pal wykazał też, że dla \(\displaystyle{ k>1}\) istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych, które są iloczynami \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb pierwszych. Podał też oszacowania dla funkcji \(\displaystyle{ \omega(n)}\) (z M. Kacem) oraz \(\displaystyle{ \pi(n)}\) (z A. Selbergiem)
Ale znane jest także:
Twierdzenie Erdős
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to w każdym zbiorze \(\displaystyle{ 2p -1}\) liczb całkowitych istnieje \(\displaystyle{ p}\) takich, których suma podzielna jest przez \(\displaystyle{ p}\).
Twierdzenie (Erdős, J. Surány)
Każda liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) jest sumą:
\(\displaystyle{ k = \pm 0^2 \pm 1^2 … + \pm m^2}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) oraz znaki \(\displaystyle{ \pm}\) są odpowiednio dobrane (\(\displaystyle{ m}\) nie jest wyznaczone jednoznacznie).
Przykład
Zajmował się też równaniami. Erdős wyraził przypuszczenie, że nie istnieją rozwiązania \(\displaystyle{ >1}\) i takie, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze równania \(\displaystyle{ x^xy^y=z^z}\); matematyk chiński Chao Ko wykazał że ma ono nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ N}\), np. \(\displaystyle{ x=2^{12}3^{6} \ y=2^{8}3^{8} \ z=2^{11}3^{7}}\).
Twierdzenie Erdősa Szekeresa: W ciągu zbudowanym z \(\displaystyle{ n^2+1}\) rożnych liczb rzeczywistych występuje podciąg monotoniczny mający \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów*.
* W ogólniejszej wersji: z ciągu \(\displaystyle{ 1+ab}\) liczb rzeczywistych jest albo podciąg rosnący o \(\displaystyle{ 1+a}\) elementach albo podciąg malejący o \(\displaystyle{ 1+b}\) elementach.
Twierdzenie Erdős, Graham - o malowaniu liczb
Jeśli każdej liczbie naturalnej przypisać jakiś kolor i użyć nieskończenie wiele kolorów, to albo istnieją dowolnie długie jednokolorowe postępy arytmetyczne, albo istnieją dowolnie długie „tęczowe” postępy arytmetyczne.
„tęczowe”, czyli takie, że w których każdą liczbę pokolorowano innym kolorem).
Zagadnienia geometryczne
Wśród tego typu problemów są i banalne- jak poniższy i trudne (np. „Nierówność Erdősa Mordella”)...
Problem
Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ AB > BC > AC}\), jeśli proste \(\displaystyle{ AP, BP, CP}\) wyznaczają na bokach \(\displaystyle{ BC, AC, AB}\) punkty \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) to wtedy \(\displaystyle{ PX+ PY+PZ < AB}\).
Wraz z W. Anningiem Pál wykazał interesujące „kombinatoryczno-geometryczne”:
Twierdzenie
Jeżeli na płaszczyźnie jest nieskończony zbiór punktów i odległość pomiędzy każdymi dwoma z nich jest liczbą naturalną to wszystkie te punkty są na jednej prostej. Ponadto można wyznaczyć dowolnie liczny skończony zbiór punktów takich, że żadne trzy nie są na jednej prostej, oraz odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są liczbami naturalnymi.
Wraz z G. Bruijnem udowodnili:
Twierdzenie
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n \geq 3}\) punktów niewspółliniowych na płaszczyźnie. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ L}\) wszystkich prostych do których należą co najmniej dwa punkty ze zbioru \(\displaystyle{ P}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n}\) prostych.
(Problem Erdősa) Czy można umieścić \(\displaystyle{ n=9}\) punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne trzy z nich nie leżały na jednej linii, żadne cztery nie leżały na jednym kręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą ?
(Oryginalne sformułowanie było przez Erdősa dla \(\displaystyle{ n=5}\) okazał się nietrudny....
Nierozwiązane problemy:
Hipoteza Erdősa-Strausa
Ułamek \(\displaystyle{ \frac{4}{n}}\) jest sumą trzech ułamków prostych (tj. istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) że \(\displaystyle{ \frac{4}{n}= \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}}\)), co sprawdzono komputerowo dla \(\displaystyle{ n < 10^{14}}\) i dla wielu innych (np. dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych). Problem ten sprowadza się do równania diofantycznego \(\displaystyle{ \frac{4xyz}{xy+yz+zx}=n}\). Problem można zredukować do liczb \(\displaystyle{ n}\) będących liczbą pierwszą (R. Obláth) itd.
Inna hipoteza: Jeśli \(\displaystyle{ a_1< a_2 <a_3 < ....}\) jest ciągiem liczb naturalnych, i każda liczba naturalna jest równa \(\displaystyle{ a_i+ a_j}\) dla jakichś \(\displaystyle{ i, j}\) to ilość tych przedstawień liczb naturalnych w postaci takich sum nie jest ograniczona z góry.
Problem rozwiązany, ale tylko częściowo (Choi i Chu)
Twierdzenie i hipoteza Erdősa-Szekeresa
Jeśli \(\displaystyle{ n >2}\) to istnieje najmniejsza taka liczba \(\displaystyle{ N(n)}\), iż spośród dowolnych \(\displaystyle{ N(n)}\) punktów na płaszczyźnie; żadne trzy nie są współliniowe; istnieje \(\displaystyle{ n}\) takich, iż są one wierzchołkami wielokąta wypukłego. Hipoteza iż \(\displaystyle{ N(n)= 2^{n-2}+ 1}\) jest udowodniona jedynie dla \(\displaystyle{ n \leq 5}\).
Hipoteza Erdősa
Niech \(\displaystyle{ A \subset N}\) taki, że: \(\displaystyle{ \sum_{n \in A} \frac{1}{n} = +\infty}\) to wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in N}\) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) istnieje \(\displaystyle{ k}\)-elementowy postęp arytmetyczny.
Uwagi:
Szemerédi wykazał ją dla zbiorów \(\displaystyle{ A}\) takich, że \(\displaystyle{ A \cap \{1, ..., n \}}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ \lfloor an \rfloor}\) elementów dla jakiegoś \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ n}\) dostatecznie dużych.
Erdős zajmował się też liczbami \(\displaystyle{ R(n, m)}\) (teoria Ramsey’a ); ich asymptotyką, postawił m.in. pytanie o istnienie \(\displaystyle{ \lim \sqrt[n]{ R(n, n)}}\).
….quotes(c)
My brain is open!
What is the purpose of Life? - Proof and conjecture, and keep the SF's score low.
Another roof, another proof