Päl Erdős

Biografie matematyków. Dyskusje o dorobku znanych mistrzów. Historie, które stały się legendami... Legendy, które stały się mitami...
Mity, które stały się ... matematyką.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 18 cze 2014, o 12:52

Päl Erdős (1913- 1996) właść. Englander; matematyk

[quote]Matematyk to narzędzie służące do zamieniania kawy w twierdzenie[/quote]

Ze względu na swoja pomysłowość oraz intuicję matematyczną nazywany był też czarodziejem z Budapesztu bądź też „nałogowym matematykiem”.
Ekscentryczny Erdős znalazł się w top five matematyków (Euler, Cauchy, Cayley i Sierpiński...) autorów, którzy najwięcej opublikowali…
Najważniejsi współpracownicy Erdősa:
Anning, Bollobás, de Bruijn, Fejér, Gallai, Kalmár, Kátai, Lovász, Mordell, Rényi, Szegő, Szekeres, Szemerédi, Turán.


Zainteresowania Erdősa były różnorodne, ale głownie to była
kombinatoryka (np. twierdzenie Erdősa Ko Rado) oraz teoria grafów jak i algebra oraz geometria, grafy (grafy losowe, twierdzenie Erdösa-Chvátala itd). Ale także analiza, teoria aproksymacji, i inne. Choć wydaje się to niemożliwym jest on autorem ok. 1500 artykułów (w tym m.in. z 485 współautorami).

[quote]Erdős bardzo wiele przemieszczał się po całym świecie. Znany był z tego, że często stawiał ciekawe problemy matematyczne, czasami sam nie mógł ich rozwiązać. Opublikował ogromną liczbę artykułów napisanych wraz z innymi matematykami. W związku z tym powstał element matematycznego folkloru, tak zwana liczba Erdősa[/quote]

Liczba Erdősa
[quote]Sam Erdős ma liczbę Erdősa równą zero. Około 500 matematyków ma liczbę Erdősa „jeden”- to znaczy, że maja artykuł wspólnie z Erdősem. Około 5600 matematyków ma liczbę Erdősa „dwa”. Pisali oni coś wspólnie z kimś, kto pisał wspólnie z Erdősem. …wszyscy mający Fieldsa za osiągnięcia w matematyce mają liczbę Erdősa poniżej „sześciu”. Ronald Graham ma liczbę Erdősa „jeden”, liczba Erdősa Andrew Wilesa wynosi „cztery”. Nikt ani wczesniej, ani też później nie opublikował tylu co Paul Erdős artykułów pisanych wspólnie z innymi matematykami [/quote]

Księga - to według Erdősa szczególne miejsce, w którym spisane są dowody wszystkich twierdzeń;
[quote]Pan Bóg ma pozaskończoną Księgę, w której zapisane są wszystkie dowody matematyczne i gdy jest dla nas szczególnie łaskawy, pokazuje nam jej mały fragment. [/quote]

Słowniczek Erdősa!
„epsilon” - początkujący matematyk
„władcy” - kobiety
„tortury” - egzamin
„hałas” - muzyka
„trucizna” - alkohol
„faszysta” - ktoś kto przeszkadza; „SF”=Bóg
itd.

[quote]na „E” jest trzech matematyków: Euklides, Euler i Erdős... [/quote]

Uwagi: więcej o Erdősie w filmie „N is a number

Zadanie „inicjacyjne” Erdősa (dla „epsilonów”)
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A=\{1,2,...,2n \}}\) i z tego zbioru wybrano w dowolny sposób liczby \(\displaystyle{ a_1, .... a_n, a_{n+1}}\). Wtedy wśród tych liczb są dwie takie, że jedna z nich jest dzielnikiem drugiej.
Rozwiązanie: proste użycie zasady szufladkowej

poniższy wynik jest też raczej elementarny ...
Twierdzenie (Erdős)
Jeśli \(\displaystyle{ f: \NN \to \RR}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ f(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(mn) = f(m)+f(n)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n}\); to istnieje \(\displaystyle{ M>0}\) taka że \(\displaystyle{ f(n)=M \ln (n)}\)


Niektóre rezultaty Erdősa w teorii liczb:
Erdős znalazł elementarny dowód twierdzenia Czebyszewa o tym, że gdy \(\displaystyle{ n>1}\) to przedziale \(\displaystyle{ (n, 2n)}\) jest choć jedna liczba pierwsza. Wykazał też, że „iloczyn kolejnych liczb całkowitych dodatnich nigdy nie jest kwadratem (z E. Rigge’m) ani żadną inną potęgą (z J. Selfrigde)”, tzn. że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z, k}\):
\(\displaystyle{ (x+1)…(x+k) = y^z}\) oraz \(\displaystyle{ z \geq 2}\) oraz \(\displaystyle{ k \geq 2}\).
W teorii liczb pierwszych wykazał np. że \(\displaystyle{ P(n+1) \geq P(n)}\) (gdzie \(\displaystyle{ P(n)}\) to ilość przedstawień \(\displaystyle{ n}\) jako sumy liczb pierwszych). Razem z L. Kalmárem udowodnili, że \(\displaystyle{ p_n^2 > p_{n-1} p_{n+1}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) jak i \(\displaystyle{ p_n^2 < p_{n-1} p_{n+1 }}\) też dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\). Pal wykazał też, że dla \(\displaystyle{ k>1}\) istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych, które są iloczynami \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb pierwszych. Podał też oszacowania dla funkcji \(\displaystyle{ \omega(n)}\) (z M. Kacem) oraz \(\displaystyle{ \pi(n)}\) (z A. Selbergiem)
Ale znane jest także:
Twierdzenie Erdős
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to w każdym zbiorze \(\displaystyle{ 2p -1}\) liczb całkowitych istnieje \(\displaystyle{ p}\) takich, których suma podzielna jest przez \(\displaystyle{ p}\).

Twierdzenie (Erdős, J. Surány)
Każda liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) jest sumą:
\(\displaystyle{ k = \pm 0^2 \pm 1^2 … + \pm m^2}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) oraz znaki \(\displaystyle{ \pm}\) są odpowiednio dobrane (\(\displaystyle{ m}\) nie jest wyznaczone jednoznacznie).

Przykład
Zajmował się też równaniami. Erdős wyraził przypuszczenie, że nie istnieją rozwiązania \(\displaystyle{ >1}\) i takie, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze równania \(\displaystyle{ x^xy^y=z^z}\); matematyk chiński Chao Ko wykazał że ma ono nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ N}\), np. \(\displaystyle{ x=2^{12}3^{6} \ y=2^{8}3^{8} \ z=2^{11}3^{7}}\).

Twierdzenie Erdősa Szekeresa: W ciągu zbudowanym z \(\displaystyle{ n^2+1}\) rożnych liczb rzeczywistych występuje podciąg monotoniczny mający \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów*.

* W ogólniejszej wersji: z ciągu \(\displaystyle{ 1+ab}\) liczb rzeczywistych jest albo podciąg rosnący o \(\displaystyle{ 1+a}\) elementach albo podciąg malejący o \(\displaystyle{ 1+b}\) elementach.

Twierdzenie Erdős, Graham - o malowaniu liczb
Jeśli każdej liczbie naturalnej przypisać jakiś kolor i użyć nieskończenie wiele kolorów, to albo istnieją dowolnie długie jednokolorowe postępy arytmetyczne, albo istnieją dowolnie długie „tęczowe” postępy arytmetyczne.
„tęczowe”, czyli takie, że w których każdą liczbę pokolorowano innym kolorem).

Zagadnienia geometryczne
Wśród tego typu problemów są i banalne- jak poniższy i trudne (np. „Nierówność Erdősa Mordella”)...

Problem
Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ AB > BC > AC}\), jeśli proste \(\displaystyle{ AP, BP, CP}\) wyznaczają na bokach \(\displaystyle{ BC, AC, AB}\) punkty \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) to wtedy \(\displaystyle{ PX+ PY+PZ < AB}\).


Wraz z W. Anningiem Pál wykazał interesujące „kombinatoryczno-geometryczne”:
Twierdzenie
Jeżeli na płaszczyźnie jest nieskończony zbiór punktów i odległość pomiędzy każdymi dwoma z nich jest liczbą naturalną to wszystkie te punkty są na jednej prostej. Ponadto można wyznaczyć dowolnie liczny skończony zbiór punktów takich, że żadne trzy nie są na jednej prostej, oraz odległości pomiędzy każdymi dwoma z nich są liczbami naturalnymi.

Wraz z G. Bruijnem udowodnili:
Twierdzenie
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n \geq 3}\) punktów niewspółliniowych na płaszczyźnie. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ L}\) wszystkich prostych do których należą co najmniej dwa punkty ze zbioru \(\displaystyle{ P}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n}\) prostych.

(Problem Erdősa) Czy można umieścić \(\displaystyle{ n=9}\) punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne trzy z nich nie leżały na jednej linii, żadne cztery nie leżały na jednym kręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą ?
(Oryginalne sformułowanie było przez Erdősa dla \(\displaystyle{ n=5}\) okazał się nietrudny....


Nierozwiązane problemy:
Hipoteza Erdősa-Strausa
Ułamek \(\displaystyle{ \frac{4}{n}}\) jest sumą trzech ułamków prostych (tj. istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) że \(\displaystyle{ \frac{4}{n}= \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}}\)), co sprawdzono komputerowo dla \(\displaystyle{ n < 10^{14}}\) i dla wielu innych (np. dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych). Problem ten sprowadza się do równania diofantycznego \(\displaystyle{ \frac{4xyz}{xy+yz+zx}=n}\). Problem można zredukować do liczb \(\displaystyle{ n}\) będących liczbą pierwszą (R. Obláth) itd.

Inna hipoteza: Jeśli \(\displaystyle{ a_1< a_2 <a_3 < ....}\) jest ciągiem liczb naturalnych, i każda liczba naturalna jest równa \(\displaystyle{ a_i+ a_j}\) dla jakichś \(\displaystyle{ i, j}\) to ilość tych przedstawień liczb naturalnych w postaci takich sum nie jest ograniczona z góry.
Problem rozwiązany, ale tylko częściowo (Choi i Chu)

Twierdzenie i hipoteza Erdősa-Szekeresa
Jeśli \(\displaystyle{ n >2}\) to istnieje najmniejsza taka liczba \(\displaystyle{ N(n)}\), iż spośród dowolnych \(\displaystyle{ N(n)}\) punktów na płaszczyźnie; żadne trzy nie są współliniowe; istnieje \(\displaystyle{ n}\) takich, iż są one wierzchołkami wielokąta wypukłego. Hipoteza iż \(\displaystyle{ N(n)= 2^{n-2}+ 1}\) jest udowodniona jedynie dla \(\displaystyle{ n \leq 5}\).

Hipoteza Erdősa
Niech \(\displaystyle{ A \subset N}\) taki, że: \(\displaystyle{ \sum_{n \in A} \frac{1}{n} = +\infty}\) to wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in N}\) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) istnieje \(\displaystyle{ k}\)-elementowy postęp arytmetyczny.
Uwagi:
Szemerédi wykazał ją dla zbiorów \(\displaystyle{ A}\) takich, że \(\displaystyle{ A \cap \{1, ..., n \}}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ \lfloor an \rfloor}\) elementów dla jakiegoś \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ n}\) dostatecznie dużych.

Erdős zajmował się też liczbami \(\displaystyle{ R(n, m)}\) (teoria Ramsey’a ); ich asymptotyką, postawił m.in. pytanie o istnienie \(\displaystyle{ \lim \sqrt[n]{ R(n, n)}}\).


….quotes(c)
[quote]My brain is open! [/quote]
[quote]What is the purpose of Life? - Proof and conjecture, and keep the SF's score low. [/quote]
[quote] Another roof, another proof [/quote]

Erdös…
[img]http://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/er ... erdos2.jpg[/img]
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 21 cze 2014, o 23:46 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

Päl Erdős

Post autor: Ponewor » 20 cze 2014, o 23:00

To jest bardzo fajna publikacja o Erdosie http://www.slideshare.net/Wawa66/naogowy-matematyk

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 21 cze 2014, o 23:30

Ponewor: ciekawe źródło.
[quote]Paul Hoffman w swojej ksiazce o Erdosie pt. Man Who Loved only Numbers wspomina, że ów znakomity teoretyk liczb miał bardzo cierpliwa żonę, z która...[/quote]
kim była ta Pani...? no tu moze być mała niescisłość...
ang wiki podaje:
[quote]He never married and had no children. He is buried next to his mother and father in grave 17A-6-29 at Kozma Utcai Temető in Budapest.[8] For his epitaph, he suggested "I've finally stopped getting dumber." (Hungarian: "Végre nem butulok tovább").[[/quote]

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 1 sie 2018, o 00:04

Janos Pach
W dwóch miejscach na raz -
wspomnienie o Paulu Erdősie

The Mathematical Intelligencer

(fragmenty)


(...)


Symultaniczne gry
Miał absolutną pamięć nie tylko do liczb. Niegdyś pod koniec 1950 r. w domku gościnnym Węgierskiej Akademii w Mátraháza moj ojciec przedstawił go swemu koledze, którym był historyk Lajos Elekes. Paul, który interesował się niemal wszystkim od razu rozpoczął z nim rozmowę. Miał w zwyczaju pytać ludzi "Czym się zajmujesz ?" Gdy tylko się dowiedział, że Elekes napisał książkę o XV wiecznym węgierskim generale i magnacie Jánosu Hunyadim, kontynuował swe dociekania na temat katastrofy wojsk węgierskich w bitwie z Turcją pod Warną w 1444. Rozmowa musiała być przerwana, prawdopodobnie z powodu lunchu, ale była kontynuowana rok później w tym samym miejscu. Gdy Paul rozpoznał Elekesa od razu zawołał do niego: So why did Hunyadi lost at Varna ?

(...)

Często też widywałem Erdősa i Turána, gdy intensywnie pracowali razem w Mátraháza. Dołączała do nich zwykle Vera Turán-Sos (moja ciotka) oraz Alfréd Rényi którego nazywano 'Buba'. Turán czasami beształ Paula, za to że mówi nensensy lub też powtarza jego pomysły. Paul miał niezwykle bystry umysł i chciał od razu wszystko wyjaśniać czasami przy tym opuszczając coś lub skacząć na inny temat.

(...)


Cudowne dziecko
Paul Erdős urodził się w Budapeszcie 26 marca 1913 roku. Gdy jego matka była wtedy w szpitalu jej trzy i pięciolenie córki zachorowały na szkarlatynę i zmarły. Paul dorastał wychowywany nadopiekuńczo jako jedyne dziecko. Bojąc się zakaźnych chorób jego rodzice nie posłali go do szkół, i większość swej nauki odbywał jako samouk. Oboje jego rodzice byli nauczycielami akademickimi, i sami uczyli Paula,choć zatrudniali też korepetytorów i niemieckie guwernantki. Ojciec Paula dostał się do niewoli w I Wojnie Światowej, i wrócił do Węgier w 1920. Był to pierwszy raz gdy mógł rozmawiać z synem. Wkrótce zaczął uczyć go angielskiego i wprowadził w świat liczb pierwszych. Na prelekcji na Uniwersytecie Eőtvős Paul określił samego siebie jako dziecko słowami 'odrobina talentu'. Gdy miał 4 lata odkrył liczby ujemne, oraz potrafił w pamięci mnożyć przez siebie liczby czterocyfrowe. Mając 13 lat zaczął regularnie rozwiązywać zadania w KőMaL, specjalistycznym piśmie matematycznym skierowanym dla studentów. Pod koniec każdego roku jego zdjęcie było wśród zdjęć studentów odnoszących największe sukcesy.
W 1930 roku został przyjęty na Uniwersytet w Budapeszcie, i w tym samym roku (mając 17 lat!) dokonał swego pierwszego ważnego matematycznego odkrycia: znalazł elementarny dowód znanego twierdzenia Czebyszewa, zgodnie z którym między dowolną liczbą całkowitą większą od 1 a jej podwojeniem jest liczba pierwsza.
Lubił cytować słowa Nathana Fine:

Chebyshev said
and I say it again
There is always prime
between n and 2n.

W swojej rozprawie doktorskiej napisanej pod kierunkiem Leopolda Fejéra, udowodnił niektóre uogólnienia tego twierdzenia. Miał wtedy tylko 21 lat. W czasie studiów poznał matematyków: Tibor Gallai, Gyorgy Szekeres, Paul Turán, którzy zostali jego przyjaciółmi i wieloletnimi współpracownikami. Czesto bywali oni na wykładach Dénesa Kőniga z teorii grafów. Rozwiązując jeden z problemów przedstawionych na tym wykładzie 18 letni Erdős znalazł ekscytujące uogólnienie twierdzenia Mengera do grafów nieskończonych. (Jego dowód był zawarty w klasycznej monografii Kőniga z 1936 r). Rok później Erdős i Szekeres dokonali wspaniałego odkrycia, które doprowadziło do pierwszej ich wspólnej publikacji. Jest obecnie słusznie uważane za zalążek teorii Ramseya i geometrii kombinatorycznej.
W latach od 1934 do 1938, Paul pracował w Menchesterze i jedynie wakacje spędzał na Węgrzech. Często wspominał, że przed wyjazdem do Anglii, nigdy nie musiał smarować masłem kromki chleba. Choć było to łatwym nigdy nie nauczył się jak przygotować sobie posiłek. Niegdyś mieszkałem z Paulem kilka dni u niego. Gdy wieczór wszedłem do kuchni, zobaczyłem przerażający widok. Podłoga była zalana płynem koloru krwi. Ślady wiodły do lodówki. Otworzyłem jej drzwi i ze zdziwieniem zobaczyłem podziurawiony karton soku pomidorowego. Paul chyba chciał się napić i po namyśle zdecydował się rozciąć nożem karton.

Wiele konkursów matematycznych dla uczniów i studentów, sesje zadaniowe KőMaL oraz programy niektórych szkół na Węgrzech wyławiały grupę niezwykle uzdolnionych dzieci. Paul nigdy nie przegapił okazji do rozmowy z nimi. Wśród wielu utalentowanych uczniów, jakich odkrył byli: Atilla Máte, Lajos Pósa i Imre Ruzsa. Pósa był cudownym dzieckiem. Gdy miał 12 lat znakomity węgierski logik i wykładowca Rózsa Peter, przedstawił go Paulowi, to już rok później Erdős i Pósa mieli napisaną wspólną pracę z teorii grafów.
Paul nazywał dzieci "epsilonami". Uwielbiał trzymać je w ramionach. Gdy to robił, pytał zazwyczaj: "Czy to nie niezwykłe jak spokojny jest ten epsilon ?" (Rodzice, zwłaszcza ci, którzy go nie znali byli mniej spokojni).
Na lotniskach, w restauracjach, na ulicach zaczepiał ludzi z małymi dziećmi. "Ile lat ma ten epsilon ?" Bardzo miły! Czy to szef czy niewolnik ? (W tym miejscu ktoś musiał wyjaśnić zaskoczonym rodzicom, że pytanie dotyczy tego czy dziecko jest dziewczynką czy chłopcem, odpowiednio). Jeśli dziecko nie było całkiem młode, mogło uciec bez oglądania poniższej sztuczki. Paul wyciągał z portfela monetę i kłądł ją na grzbiecie dłoni, wytrącał, pozwalając monecie spadać a potem łapał tą samą ręką nim upadła na ziemię. Większość gapiła się z ciekawością doceniając trudność sztuczki lub nie rozumiejąc na czym ona polega. Jednak rzadko płakały.
Kiedy rozmowa zeszła na epsilony, Paul lubił wspominać taką historię. Jego matka zapytała kiedyś jakąś kobietę ile ma dzieci ? "Siedem" - odpowiedziała. Aunty Annus (tak nazywałem matkę Paula), która nigdy nie pogodziła się z utratą swych córek, aprobująco skinęła głową: "więc jest pani bogatą kobietą".

(...)

Gdy Bolyai Mathematical Society świętowało 60 urodziny Erdősa zorganizowano wielką konferencję w Keszthely, z udziałem kilkuset osób. Władze odmówiły zgody na przyjazd gości z Izraela. Paul był wściekły. Zwrócił się do oficjeli wysokiego szczebla i wystosował protest, ale bez efektu. Zaprzysiągł że nie wróci na Węgry przez dłuższy czas. Istotnie powrócił dopiero w 1976 i to jedynie aby odwiedzić swego przyjaciela Paula Turána, który był umierający. (mimo wieloletniego czlonkostwa w Węgierskiej Akademii był też 'visiting professor' na Technion w Hajfie).

Jego "wędrowny styl życia" nie można tłumaczyć jedynie niespokojną naturą. Wybrał wolność i musiał wiele poświęcić. Nie pozwolił nikomu ograniczać swoją wolność i pracę, ani Hitlerowi, ani Joe (tak nazywał Stalina, oraz Rosję i ruch komunistyczny), ani też Samowi (St. Zjednoczone). Nie wierzył w wieczną chwałę supermocarstw, ale nagły upadek Joe'go zaskoczył go. Wiosną 1989 zrobiłem z nim zakład 5000 forintów, że Związek Radziecki rozpadnie się w okresie roku. Przegrałem, choć Paul przyznał że 'wygrałem moralnie'. Dodał też z małym zażenowaniem:

Once Sam and Joe went up the hill
To fetch a pail of water.
And Joe fell down and broke his crown
And Sam came tumbling after.


Złoty wiek
W 1956, Paul został przyjęty do Węgierskiej Akademii Nauk. Mimo że nie przykładał zbytnio wagi do tytułów i rankingów to jednak myślę, że to członkostwo traktował nieco poważniej. Często przylatywał z zagranicy na parę dni, aby brać udział w zebraniach i głosowaniach. Jeśli ktoś został wybrany na członka korespondenta, zwykle gratulował mu w typowy sposób: "Cieszę się, że zostałeś półbogiem!"
Kilka razy w roku Paul z matką spędzał parę tygodni w domku gościnnym Akademii w Mátraháza; Większość gości stanowili naukowcy, ale było też kilku pisarzy. Paul zwykle starał się układać swój grafik, tak by spotkać się z Turánem i z moimi rodzicami. Wtedy też wynajmowali zwykle w jadalni duży stół na dziesięć osób. Inne stoliki były małe i siedziały przy nich starsze pary, które rzadko rozmawiały ze sobą. Czasami wyłapywałem ich zazdrosne spojrzenia, gdyż nasz stolik był o wiele żywszy.
3xPaul; Erdos (P.E), Turán (P.T) i Pach (P.P) byli źródłem wielu opowieści, żartów i pomysłów. (Zwykli oni zwracać się do siebie z użyciem inicjałów, jak podpisują się nieraz autorzy artykułów w gazetach).
Wymowna jest tu konwersacja w języku angielskim, jaką P.E. prowadził z matką. Aunty Annus zaczęła towarzyszyć synowi w jego podróżach, gdy miała lat 84, i postanowiła nauczyć się angielskiego. Nigdy nie zapomnę jak zwróciła się do Paula z pytaniem: "Palkő: jak nazywasz owoc ('szilva') ?"
"Plimm, mother, plimm!"
Godnym uwagi jest fakt, że mimo iż Erdős, zaczął uczyć się angielskiego mając 8 lat i choć spędził wiele lat w krajach anglo-języcznych, miał bardzo wyraźny akcent. Ostatnio powstał o nim film dokumentalny, zawierający wywiady z wieloma matematykami węgierskimi. Paul był jedynym, do którego słów dodano napisy.
Nie miał też zbyt dobrego słuchu i niezbyt lubił muzykę. Turán uwielbiał słuchać muzyki przy pracy i znał klasykę bardzo dobrze. Kiedy Erdős przychodził do niego zatrzymywał się i pytał: "Co to za hałas ?"
Jedną z ich ulubionych rozrywek było przepisywanie dobrze znanych fragmentów wierszy poetów węgierskich. Głównym motywem w nich były podeszły wiek i starość, dwie rzeczy, które najbardziej ich przerażały. Np. Erdős parafrazował wiersz Sándora Petőfi:

One thought disturbs me, that I may decease
In slowly progressing Alzheimer's disease.

Erdős cytował to "arcydzieło" często i z dumą, mimo wątpliwych walorów literackich. Niemal 20 lat po śmierci Turána już nie pamiętał które fragmenty napisał on, a które Turán. Obydwaj kochali poezje Andre Ady i "Westerners" grupę postępowych poetów i pisarzy węgierskich, którzy publikowali w periodyku "Nyugat" (West). Jeśłi tylko imię Ady'ego było przywoływane w rozmowie, Erdős komentował: "Był wspaniałym poetą, ale trywialną osobą!" (u Erdősa "trywialny" w znaczeniu "średni"). Paul nigdy nie wybaczył Ady zerwania ze swą wieloletnią kochanką poprzez pisanie dla niej pustoszących i pożegnalnych poematów.
"Zagrajmy w ping ponga", "i powiem ci kim jesteś" - mawiał Turán. Istotnie przy odpowiednim skupieniu można poznać cechy przeciwnika, czy jest twórczy, wyrozumiały, jak radzi sobie z porażką, pechem, jak działa pod presją itd. Gdy tylko Erdős stanął przy stole, było jasne, iż jest amatorem i nie może być poważnym przeciwnikiem. Nawet rakietkę trzymał w nieco dziwny sposób, jakby nie chciał pobrudzić sobie rąk. Jego serwis był całkiem śmieszny, łatwy do ścięcia. Ale tu niespodzianka: Paul łatwo odpierał atak! Miał fantastyczny refleks. Nie sposób nie myśleć, że przewodzenie ipulsów układu nerwowego odbywało się u niego o wiele szybciej niż u innych.

Turán miał znacznie lepszą technikę gry, naśladował chiński styl z efektowną ruchliwością. Był bardzo dumny z wygrania tenisowego turnieju na pokładzie Queen Mary. Erdős i Turán zawsze dobrze grali ze sobą. Turan poruszał się jak zawodowiec, a Erdős pozostawał spokojny i blokował odbicia. Gdy nie trafiał w piłeczkę, wykrzykiwał: "Faszyzm!"
Obydwaj lubili grać z dziećmi i niemal zawsze wygrywali: "Patrz! Epsilon nie poddaje się! On wciąż walczy...".

(...)

Jednym z nich (oryginalnych pomysłów Paula) jest poniższy dowód indukcyjny, według którego iloczyn wszystkich liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ n}\) jest mniejszy niż \(\displaystyle{ 4^n}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n \leq 4}\), to oczywiście jest to słuszne. Załóżmy więc że teza zachodzi dla wszystkich liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\), i chcemy udowodnić ją dla Jeśli \(\displaystyle{ n}\). Możemy też założyć, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste. Iloczyn liczb pierwszych nie przekraczających \(\displaystyle{ n}\) można zapisać:
\(\displaystyle{ \prod_{p \leq n} p = \prod_{2p \leq n+1} p \cdot \prod_{n+1<2p \leq 2n} p}\)
Przez indukcję pierwszy składnik nie przekracza \(\displaystyle{ 4^{ \frac{n+1}{2}}}\). Tu jest oryginalna idea: drugi składnik jest ograniczony przez \(\displaystyle{ {n \choose \frac{n+1}{2}}}\) stąd:
\(\displaystyle{ \prod_{p \leq n} p \leq 4^{\frac{n+1}{2}} {n \choose \frac{n+1}{2}} \leq 4^{\frac{n+1}{2}} \cdot 2^{n-1} =4^n}\)
co należało wykazać. Warto zauważyć, że powyższe implikuje od razu słabszą wersję 'Prime Number Theory': ilość liczb pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) jest równa co najwyżej \(\displaystyle{ \frac{c n}{\log \ n}}\) gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest stosowną stałą.
Paul był zapraszany na wykłady do tylu miejsc, że nie mógł przyjąć wszystkich zaproszeń, jakie otrzymał. Matka przypomni mu: "Palkó, nawet ty nie możesz być w dwóch miejscach na raz!".
Ale, w końcu, tak właśnie się stało.

:arrow:
W Budapeszcie w sierpniu 1988, na Międzynarodowej Konferencji Edukacji Matematycznej, Paul Erdős prowadził wykład omawiając bieżące zagadnienia i otwarte probblemy. Jednym z tematów była kontynuacja badań Davida Hilberta. "Nie wiem" powiedział Erdős, czy Hilbert byłby zadowolony z kierunku w jakim zmierzają prace. Wkrótce będę mógł go o to zapytać.

[img]http://www.learn-math.info/history/photos/Erdos_2.jpeg[/img]
wykład Paula
[img]http://s1.fotowrzut.pl/C8AWZC2O3Y/1.jpg[/img]
William T. Tutte i Paul grają w Go; Ontario, Kanada 1985 r.

[img]https://1.fwcdn.pl/po/53/55/455355/7190949.6.jpg[/img]
N is a number

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 25 cze 2019, o 22:45

Żródło: László Babai - Paul Erdős His influence on the theory of computing
Szczególną cechą pracy Erdősa były jego wyjątkowe koncepcje, które odmieniły wiele obszarów matematyki. Czymkolwiek się zajmował potrafił wyszukiwać elementarne, jak i niezwykle trudne problemy kombinatoryczne. Nic nie ilustruje tego lepiej, niż to jak to że rozwijane przez niego problemy prowadziły do najprostszych idei geometrycznych jak punkty, proste, trójkąty.
Jesli rozważyc zbiór \(\displaystyle{ k}\) punktów i \(\displaystyle{ t}\) prostych na płaszczyźnie, to jakie pytanie mógł tu zadać Paul ? Wśród różnych pytań być może najprostsze będzie: jaka jest maksymalna liczba \(\displaystyle{ f(k,t)}\) incydencji pomiędzy punktami a prostymi ?
(punkt jest incydentny do prostej gdy jest jednym z punktów tej prostej).
Erdős udowodnił że \(\displaystyle{ f(k,t) \geq c( (kt)^{\frac{2}{3}} + m+n)}\) rozważając stosowne układy prostych i punktów kratowych. Poszedł też dalej stawiając hipotezę, że oszacowanie to jest optymalne oprócz stałej \(\displaystyle{ c}\). Hipoteza ta wraz z co najmniej pięcioma innymi hipotezami z zakresu geometrii była przedstawiona w artykule Szemerédiego i Trottera z okazji 70 tych urodzin Erdősa.

Erdős postawił wiele problemów dotyczących odległości między punktami. Najprostszy z nich: jaka jest maksymalna liczba \(\displaystyle{ g(n)}\) jednostkowych odległości pomiędzy \(\displaystyle{ n}\) punktami na płaszczyźnie ? Erdős udowodnił, że:
\(\displaystyle{ n^{1+ \frac{c}{\log (\log n) }} < g(n) < \Omega(n^{ \frac{3}{2} })}\). Górne ograniczenie było poprawione przez Spencera na \(\displaystyle{ \Omega(n^{ \frac{4}{3} })}\).
Luka między ograniczeniami górnym i dolnym pozostaje duża.
Nie wszystkie najprostsze i elementarne problemy tego typu były zainicjowane przez Paula Erdősa. Jednak tego typu problemy rzadko unikały jego uwagi, zajmował się nimi () rozwijał je i rozwiązywał wraz z innymi.

Jako przykład rozważmy "problem \(\displaystyle{ k}\)-zbiorów" z geometrii elementarnej:

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ S}\) który ma \(\displaystyle{ n}\) punktów płaszczyzny (żadne trzy z nich nie są współliniowe), oraz \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq n}\); Jakie jest maksymalna ilość \(\displaystyle{ f_k(n)}\) zbiorów \(\displaystyle{ k}\) elementowych \(\displaystyle{ T \subset S}\), które mogą być oddzielone prostą od \(\displaystyle{ S \backslash T}\) ?

Problem ten postawił Gustav Simmons pod koniec lat 60 tych i jest on typowym w stylu Erdosa. Rozpropagował go szerzej, kiedy to początkujący student László Lovász podał \(\displaystyle{ n^{\frac{3}{2}}}\) jako górne ograniczenie gdy \(\displaystyle{ n=2k}\). Simmons podał \(\displaystyle{ \Omega(n \log(n))}\) jako dolne ograniczenie. W kolejnym artykule Erdős, Lovász, Simmons i Straus uogólnili do \(\displaystyle{ \Omega(n \log(k)) \leq f_k(n) \leq O(n \sqrt{k})}\).
Raczej duża luka między tymi ograniczeniami wskazuje na zaskakującą trudność problemu. Jedyne ulepszenie to nieznaczna poprawa górnego szacowania, przez czynnik \(\displaystyle{ \log k}\); zauważono (Pach et al.) że czynnik \(\displaystyle{ (\log k)^c}\) może być pominięty.


film Erdos Szekeres Theorem

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25442
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4238 razy

Päl Erdős

Post autor: Jan Kraszewski » 25 cze 2019, o 22:57

mol_ksiazkowy pisze:Päl Erdős (1913- 1996)
Nie Päl tylko Pál.

JK

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Re: Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 lip 2019, o 17:40

fragmenty
Paul Erdös, niezwykły teoretyk teorii liczb
Carl Pomerance

W odpowiedzi na mechanikę kwantową Einstein miał okrzyknąć : „Bóg nie gra w kości”. Mimo że nigdy się to nie stało lubię myśleć, że Paul Erdös i wielki probabilista Marek Kac odpowiedzieliby: „Być może, ale czasami zajmuje się liczbami pierwszymi”. W 1939 Erdös i Kac udowodnili jedno z najpiękniejszych i nieoczekiwanych wyników w matematyce. Ich twierdzenie mówi o rozkładzie normalnym ilości dzielników pierwszych wśród liczb naturalnych.
Niech \(\displaystyle{ \omega(n)}\) będzie liczbą różnych dzielników pierwszych \(\displaystyle{ n}\). W 1917 Hardy i Ramanujan udowodnili że \(\displaystyle{ \omega(n)}\) można przybliżyć \(\displaystyle{ \log \log (n)}\). To oznacza, że dla \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) gęstość zbioru tych \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ (1-\epsilon) \log \log (n) < \omega(n) < (1+\epsilon) \log \log (n)}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\).
(Zbiór \(\displaystyle{ S}\) ma gęstość \(\displaystyle{ d}\) jeśli ilość elementów \(\displaystyle{ S}\) nie większych od \(\displaystyle{ x}\) podzielona przez \(\displaystyle{ x}\) dąży do \(\displaystyle{ d}\) gdy \(\displaystyle{ x \to \infty}\); np. liczby nieparzyste mają gęstość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , a liczby pierwsze \(\displaystyle{ 0}\), zbiór liczb o nieparzystej liczbie cyfr nie ma gęstości). Później Paul Turán, bliski przyjaciel Erdösa znalazł znacznie uproszczony dowód twierdzenia Hardy’ego-Ramanujana, wykazując że suma \(\displaystyle{ ( \omega(n) - \log \log (n) )^2}\) dla \(\displaystyle{ n \leq x}\) jest wielkością rzędu \(\displaystyle{ x \log \log (x)}\).
Marek Kac badał własności \(\displaystyle{ \omega(n)}\) probabilistycznie. Myślał on, że bycie podzielnym przez \(\displaystyle{ 2, 3, 5}\) itd. może być rozumiane jako „zdarzenia niezależne”, tj. \(\displaystyle{ \omega(n)}\) może być sumą niezależnych zmiennych losowych. Ponieważ sumę liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) dla \(\displaystyle{ p}\) pierwszych, \(\displaystyle{ p \leq x}\) przybliża \(\displaystyle{ \sqrt{\log \log x}}\) tj. Kac przyjął, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ u}\) gęstość zbioru tych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ \omega (n) \leq \log \log n + u \sqrt{\log \log n }}\) istnieje i jest równa
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{u} \e^{ \frac{-t^2}{2}} dt}\)
pole pod krzywą Gaussa od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ u}\).

Jak wyglądała współpraca Erdös i Kaca najlepiej opisuje własnymi słowami sam Kac cytowany przez Petera Elliota:
O ile pamiętam w jako pierwszy sformułowałem twierdzenie (jako hipotezę ) o rozkładzie normalnym liczby dzielników pierwszych, na wykładzie w Princeton w marcu 1939. Szczęśliwie dla mnie i chyba dla Matematyki był tam obecny Erdös, który od razu ożywił się. Zanim wykład się zakończył on dokończył dowód, czego ja nie potrafiłem, nie mając orientacji w metodach teorii liczb, szczególnie tych związanych z sitem. .
To, o czym Erdös dobrze wiedział, że z metody sita rozwiniętej przez Bruna, może być wykazane, że liczby pierwsze do \(\displaystyle{ x^{\epsilon}}\) faktycznie układają się niezależnie do \(\displaystyle{ x}\) i że żadna \(\displaystyle{ n \leq x}\) nie może mieć więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon}}\) czynników pierwszych które przekraczają \(\displaystyle{ x^{\epsilon}}\).
Wynik ten otworzył rozdział w probabilistycznej teorii liczb, działu matematyki, który bada funkcje arytmetyczne jak \(\displaystyle{ \omega(n)}\) metodami probabilistycznymi.

Problemy
Erdös jest tak samo znany z jego oryginalnych problemów; Oto niektóre z nich:

1. Spośród liczb całkowitych \(\displaystyle{ \leq x}\) zbiór potęg dwójki ma tę własność, że sumy jego podzbiorów są różne i jest \(\displaystyle{ \log_2 x + O(1)}\) potęg dwójki nie większych od \(\displaystyle{ x}\). Czy dowolny zbiór liczb całkowitych zawarty w \(\displaystyle{ [1, x]}\), który ma wszystkie sumy podzbiorów różne ma co najwyżej \(\displaystyle{ \log_2 x + O(1)}\) elementów ?
2. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie podzbiorem zbioru liczb całkowitych nieujemnych takim, że dowolne \(\displaystyle{ n}\) całkowite i nieujemne może być przedstawione w formie \(\displaystyle{ a_1+a_2}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A}\). Niech \(\displaystyle{ r_n}\) będzie liczbą takich przedstawień \(\displaystyle{ n}\). Czy ciąg \(\displaystyle{ r_n}\) musi być nieograniczony ?
3. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ B \subset N}\) ma tę własność, że suma odwrotności wszystkich liczb z \(\displaystyle{ B}\) jest nieskończona. Czy \(\displaystyle{ B}\) musi zawierać dowolnie długie ciągi arytmetyczne ?
4. Zbiór \(\displaystyle{ \{ 2, 3, 4, 6, 12 \}}\) ma własność pokrycia, gdyż istnieją klasy reszt modulo elementy tego zbioru, które wypełniają zbiór liczb całkowitych, tj. Czy dla każdego \(\displaystyle{ k}\) istnieje zbiór mający własność pokrycia, którego elementy są większe od \(\displaystyle{ k}\) ?

Każdy z tych problemów ma swoja ciekawą historię, jak setki innych jego problemów. Często są one wierzchołkiem góry lodowej. Na przykład problem 2 jest związany z Turánem i z słynnym twierdzeniem Erdösa i Fuchsa, które mówi, że bez względu jaki jest zbiór \(\displaystyle{ A}\) suma \(\displaystyle{ r(n)}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) nie przekracza \(\displaystyle{ x}\) nie jest w formie \(\displaystyle{ cx + o( \frac{x^{\frac{1}{4} }}{\log(x)^{ \frac{1}{2}}} )}\). (Erdös był słusznie dumny z tego pięknego wyniku. Kilka lat później napisał, że twierdzenie to „z pewnością przeżyje jego autorów o wieki”.
Problem 4 jest związany ze starym zadaniem Eulera czy każda liczba nieparzysta \(\displaystyle{ n>1}\) jest sumą liczby pierwszej i potęgi dwójki. Euler zauważył, że \(\displaystyle{ 127}\) i \(\displaystyle{ 959}\) nie są takie mimo że de Polignac postawił tę hipotezę w 1849 r ! Problem był wznowiony przez Romanoffa w 1934 r. i rozwiązany przez Erdösa i van der Corputa w 1950 r. Istotnie: Erdös udowodnił, że istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny liczb nieparzystych które nie są sumami liczby pierwszej i potęgi dwójki. Dowód używa zbioru pokrywającego \(\displaystyle{ \{ 2, 3, 4, 8, 12, 24 \}}\). Z tego wynikałoby, że dla dowolnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\), w nieskończonym ciąg arytmetycznym nie ma liczb, które są sumą potęgi dwójki i liczby z co najwyżej \(\displaystyle{ k}\) różnymi czynnikami pierwszymi. Erdös lubił hipotezę Selfridge’a: czy istnieje zbiór pokrywający z elementami modulo \(\displaystyle{ >1}\) ? Jest to wciąż nierozwiązane.
Erdös oferował pieniądze za każdy z tych problemów jak i za wiele innych. Na przykład problem 3 (który ma zaskakujący wniosek że istnieją dowolnie długie ciągi arytmetyczne liczb pierwszych) był wart $ 3 000. Lubił żartować, że jego nagrody naruszają zasady wynagrodzeń.

Paul Erdös często poprzez swe motywacje finansowe inspirował wielu matematyków. Endre Szemerédi na przykład zarobił $ 1,000 gdy wykazał nieco słabszą wersję Problemu 3: udowodnił, iż jeśli \(\displaystyle{ B}\) nie ma gęstości zero to ma dowolnie długie ciągi arytmetyczne. Helmut Maier i Géreld Tenenbaum zarobili, gdy wykazali, że gęstość zbioru tych \(\displaystyle{ n}\) które mają dzielniki \(\displaystyle{ a, b}\) dla których \(\displaystyle{ a < b < 2a}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\).
Ja także mu dużo zawdzięczam. Pod koniec artykułu z 1956 Erdös podał krotką argumentację za tym, że jest nieskończenie wiele liczb Carmichaela i że jest ich dużo wśród wszystkich liczb. (Liczba złożona \(\displaystyle{ m}\) dla której \(\displaystyle{ a^m \equiv a \ mod \ m}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) nazywa się liczbą Carmichaela). W 1910 Carmichael postawił hipotezę, iż jest takich liczb nieskończenie wiele. Erdös i ja dyskutowaliśmy o tym wiele razy i był on zadowolony gdy Red Alford, Andrew Granville i ja wymyśliliśmy szkic dowodu. Byliśmy szczęśliwi mogąc dedykować naszą pracę Erdösowi w jego osiemdziesiąte urodziny.
[…]
Liczby zaprzyjaźnione były znane już od Pitagorasa, \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są zaprzyjaźnione jeśli suma dzielników właściwych dowolnej z nich jest równa drugiej; najmniejsze takie liczby gdy \(\displaystyle{ m \neq n}\) to \(\displaystyle{ 220}\) i \(\displaystyle{ 284}\). Paul jako pierwszy udowodnił, że zbiór takich liczb ma gęstość zero. Wciąż nie wiadomo czy jest ich nieskończona ilość.
Czy iloczyn kolejnych liczb całkowitych dodatnich może być kwadratem liczby całkowitej ? To zagadnienie mające swe korzenie w XVIII wieku, było rozstrzygnięty negatywnie przez Erdösa i Selfridge’a w 1975. Wciąż nie wiadomo, czy twierdzenie to można uogólnić na ciągi arytmetyczne o względnie pierwszych wyrazach.
Funkcja addytywna to taka, która jest określona na zbiorze liczb naturalnych i \(\displaystyle{ f(mn) = f(m)+ f(n)}\) gdy \(\displaystyle{ m, n}\) są względnie pierwsze; np. funkcja \(\displaystyle{ \omega(n)}\) ilość dzielników pierwszych \(\displaystyle{ n}\), wymieniona wcześniej w związku z twierdzeniem Erdosa-Kaca, taką jest, jak też \(\displaystyle{ \log(n)}\). W 1944 Erdös udowodnił że jeśli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest addytywna i \(\displaystyle{ f(n+1) \geq f(n)}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ f(n)= c \log n}\). Tak jest również gdy zastąpi się monotoniczność warunkiem \(\displaystyle{ f(n+1) - f(n) \to 0}\). Inni, w tym Feller, Wirsing, Kátai i Kovács rozwijali tę teorię. Na przykład Wirsing udowodnił w 1970 starą hipotezę Erdösa iż jeśli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest addytywna i \(\displaystyle{ f(n+1)-f(n)}\) jest ograniczone, to istnieje \(\displaystyle{ c>0}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n)- c \log n}\) jest ograniczone.

...................................
Mistrz wzorów
Geometria elementarna i teoria Ramseya pojawia się w jednej z wcześniejszych prac Erdösa (1935) napisanej wspólnie z wieloletnim przyjacielem György’m Szekeresem, który wtedy studiował chemię. Udowodnili oni że spośród dostatecznie wielu punktów na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ k}\) takich, które tworzą \(\displaystyle{ k}\) kąt wypukły. Później Erdös nazwał to „Happy Ending Problem”, sformułowany przez Eszter Klein i rozwiązany przez Szekeresa, który potem poślubił Klein. „Ślub miał miejsce dzień po tym jak Vinogradov odowodnił hipotezę Goldbacha” - wspominał Erdös w 1995.
Szekeres ponownie odkrył twierdzenie Ramseya w trzy lata po jego odkryciu. Praca ta jest kamieniem milowym w myśleniu kombinatorycznym Erdösa. Erdös rozpoznał ogromne możliwości jakie otwiera twierdzenie Ramseya, to „uogólnienie zasady szufladkowej”. W pracy z 1935 wspólnie z Szekeresem Erdös zajmował się liczbami Ramseya dla grafów, pierwszy krok do tego, co dzięki niemu przekształciło się w teorię Ramseya, wielki obszar w skończonej i pozaskończonej kombinatoryce. Pozaskończona teoria Ramseya stała się podstawą nowoczesnej teorii zbiorów.
Jednym z bohaterów Erdösa był Georg Cantor; Erdös nauczył się podstaw teorii zbiorów od swego ojca. Erdös uwielbiał nieskończone liczby kardynalne i przyczynił się do odkrycia niektórych z nich.
Mimo że metody skończone i pozaskończone są niemal inne (zliczanie jest fundamentem pierwszego, a uporządkowanie drugiego), było założeniem Erdösa, iż jeśli problem ma sens tak dla skończonych i nieskończonych zbiorów, to musi być rozpatrywany w obu przypadkach. Jest to szczególnie widoczne w jego 54 wspólnych (często dużych) artykułach z A. Hajnalem.
Liczba chromatyczna grafu to najmniejsza ilość kolorów potrzebna do pomalowania wierzchołków grafu, by dowolne z nich które są połączone krawędzią były różnokolorowe. Do połowy lat 50 tych to pojęcie było dyskutowane w ograniczonym kontekście twierdzenia o czterech barwach. Wkład Erdösa, który zawiera dziesiątki prac pod nazwą „Chromatyczna teoria grafów” odegrał główną rolę w ukazaniu głębi zagadnienia. Wraz z Hajnalem, Erdös rozwinęli to pojęcie na zbiory (żadne elementy zbioru nie mogą być jednokolorowe) tworząc jedną z najmocniejszych i jednolitych koncepcji współczesnej kombinatoryki.
Jednym z wielkich wczesnych osiągnięć Erdösa w kombinatoryce skończonej był jego dowód z 1957, że dla dowolnych \(\displaystyle{ k, m}\) istnieje graf o liczbie chromatycznej \(\displaystyle{ k}\), który nie zawiera cykli długości mniejszej niż \(\displaystyle{ m}\).

Inne;
Hipoteza za $ 3 000
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie podzbiorem liczb naturalnych takim, że każdą dostatecznie dużą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę dwóch elementów z \(\displaystyle{ A}\). Czy wtedy dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ C}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ n}\), którą przedstawić można jako sumę dwóch elementów z \(\displaystyle{ A}\) na co najmniej \(\displaystyle{ C}\) różnych sposobów ?


Pokrycie (zbiór pokrywający) to układ kongruencji:
\(\displaystyle{ n \equiv a_i \ mod \ m_i}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leq i \leq k}\)
taki, że dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) spełnia choć jedną z nich.

Np. zbiór liczb \(\displaystyle{ m_i}\): \(\displaystyle{ \{ 2, 3, 4, 6, 12 \}}\).
\(\displaystyle{ 2k}\)
\(\displaystyle{ {\green 3k }}\)
\(\displaystyle{ {\red 4k +1}}\)
\(\displaystyle{ {\yellow 6k +1}}\)
\(\displaystyle{ {\blue 12k +11 }}\)

\(\displaystyle{ 12k , \ {\red 4k +1}, \ 12k +2, \ {\green 12k+3 }, \ 12k+4, \ {\red 12k +5} , \ 12k+6, \ {\yellow 12k +7}, \ 12k+8, \ {\green 12k +9 }, \ 12k+10, \ {\blue 12k +11 }}\)

Hipoteza o rozbieżności: (rozwiązana przez T. Tao)
Dla dowolnego nieskończonego ciągu o wyrazach \(\displaystyle{ \pm 1}\) oraz dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ C}\) istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ k, d}\) takie, że \(\displaystyle{ |\sum_{j=1}^{k} x_{jd}| > C}\).

Twierdzenie Erdös-Rado
Dla dowolnych \(\displaystyle{ k, r}\) dowolna dostatecznie duża rodzina zbiorów \(\displaystyle{ r}\) elementowych zawiera w sobie słonecznik z \(\displaystyle{ k}\) płatkami.
Słonecznik o \(\displaystyle{ n}\) płatkach - struktura zbiorów \(\displaystyle{ A_1,…,A_n}\) takich, że \(\displaystyle{ A_i \cap A_j = A_1 \cap … \cap A_n}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ i \neq j}\).

Jedna z Hipotez teorii grafów
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem nieskończonym, którego liczba chromatyczna jest nieskończona. Czy wtedy jeśli \(\displaystyle{ a_1 < a_2 <a_3 < ….}\) są długościami nieparzystych cyklów w \(\displaystyle{ G}\) to \(\displaystyle{ \sum_{i} \frac{1}{a_i} = \infty}\) ?


Źródła:
Paul Erdös - Some of my favourite problems in number theory, combinatorics and geometry
Mark Kozek - A covering systems: number theory in the spirit of Paul Erdös
T. Łuczak, Z. Palka - Pál Erdös
Tomasz Grębski - Paul Erdös
Z. Miechowicz, T. Bartnicki - Twierdzenie z happy endem
J. Fabrykowski, T. Smotzer - Covering systems of congruencies
R. L Graham, J. Nešetřil - Ramsey theory in the Work of Paul Erdös



Film : János Pach: Paul Erdős and the beginnings of geometric graph theory

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8577
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1798 razy

Päl Erdős

Post autor: Dasio11 » 29 lip 2019, o 19:11

mol_ksiazkowy pisze:poniższy wynik jest też raczej elementarny ...
Twierdzenie (Erdős)
Jeśli \(\displaystyle{ f: \NN \to \RR}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ f(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(mn) = f(m)+f(n)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n}\); to istnieje \(\displaystyle{ M>0}\) taka że \(\displaystyle{ f(n)=M \ln (n)}\)
Ale fałszywy.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Re: Päl Erdős

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 lis 2019, o 15:06

MY BRAIN IS OPE N<> The Matematical Journey of Paul Erdős /// fragment

Erdős miał więcej współpracowników niż większość ludzi znajomych. Napisał swe prace z więcej niż z 450 współautorami - dokładna liczba nie jest wciąż znana, gdyż pozostawał cały czas twórczym a jego współpracownicy w większości nadal są aktywni. Krótkie spotkanie mogło oznaczać wspólną publikację, która mogła być punktem zwrotnym dla takiego matematyka. Mógł on współpracować z każdym, kto tylko za nim nadążał. Będąc samemu cudownie uzdolniony, zawsze był zainteresowany w poznawaniu i wspieraniu utalentowanych matematyków. Wielu zawdzięcza swe przyszłe osiągnięcia w dużym stopniu spotkaniem z Erdősem.
Krishna Alladi, który jest matematykiem na Uniwersytecie Floryda, jest jednym z tych wielu młodych matematyków, którym Erdős pomógł. W 1974, gdy Alladi studiował w Madras, zaczął niezależne badania nad własnościami pewnych funkcji liczbowych. Jego nauczyciele nie mogli mu pomóc w trudnościac jakie napotkał, jak też jego tato, który był fizykiem teoretycznym i głową Madras Institute of Mathematics. Gdy ten opowiedział o tym znajomym, ci zasugerowali aby zwrócić się z tym do Erdősa.
Ponieważ był on stale w ruchu Alladi wysłał list do Węgierskiej Akademii Nauk. W zdumiewająco krótkim czasie dostał odpowiedź: Erdős wkrótce będzie z wykładem w Kalcucie. Czy mógłby przyjechać tam i spotkać się z nim ? Niestety Alladi miał egzaminy i nie mógł przyjechać, więc wysłał swego tatę. Po ich rozmowie, Alladi wspominał: „ podszedł do niego i grzecznie oświadczył, iż chciałby jedynie osobiście rozmawiać z matematykiem”. Zdeterminowany, aby spotkać się z młodym obiecującym matematykiem Erdős, który miał udać się do Australii przekierował swą podróż aby na krótko być w Madras, który leży około 850 mil od Kalkuty.
Alladi był zdumiony tym, że tak wielki matematyk mógł zmienić swe plany aby go odwiedzić. Był na krótko zdenerwowany przy spotkaniu z Erdősem na lotnisku. „Rozmawiał ze mną jakby znał mnie od dzieciństwa” - wspominał Alladi. Pierwszą rzeczą o jaką mnie spytał, to czy znam jego poemat o Madras:

This is the city of Madras
The home of the curry and the dhal,
Where Iyers speak only to Iyengars
And Iyengars speak only to God


Iyers I Iyengars są dwoma grupami braminów. Iyers wielbią Shivę Niszczyciela, a Iyengars wielbią Visznu Stwórcę. Erdős wyjaśnił, że była to wariacja poematu Boston Toast, i spokojnie przeszedł do rozmów o matematyce. Erdős był pod wrażeniem Alladiego, który starał się o przyjęcie na studia w Stanach Zjednoczonych, napisał tam od siebie list. W przeciągu miesiąca Alladi został przyjęty na Uniwersity of California w Los Angeles.
Artykuł poświęcony Erdősowi miał tytuł Mężczyzna, który kochał tylko liczby. Jednak Erdős kochał znacznie więcej niż tylko liczby. Uwielbiał rozmawiać o historii, polityce i niemal o wszystkim. Kochał długie spacery i wspinać się na wieże, bez względu jaki był z niej widok, kochał grać w ping-pong, szachy i Go, uwielbiał pokazywać głupie sztuczki aby zabawiać dzieci i robić chytre sztuczki przed publicznością. Ale przede wszystkim Erdős kochał tych, którzy kochają liczby, matematyków. Pokazywał tę miłość otwierając swój portfel tak jak i umysł. Nie mając stałego zajęcia, Erdős miał zwykle mało pieniędzy, ale bez względu na to zawsze pomagał innym. Gdy tylko słyszał o młodym talencie potrzebującym środków na dalszą naukę, zawsze wysyłał mu czek. Jeśli tylko miał wykład w Madras wysyłał swe honorarium ubogiej wdowie po wielkim matematyku indyjskim Ramanujanie, choć nigdy nie spotkał Ramanujana ani jego żony, ale piękno równań Ramanujana inspirowało Erdősa jako młodego matematyka. W 1984 wygrał prestiżową nagrodę Wolfa i wraz z nią $ 50 000, z pewnością największą stawkę jaką kiedykolwiek zdobył jednorazowo.



Hipoteza Erdősa – Turana
Dla dowolnego \(\displaystyle{ N}\) istnieje w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, ..., N \} }\) baza która ma \(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{N} \rfloor}\) elementów.
(Bazą jest dowolny zbiór \(\displaystyle{ X}\), taki, że jeśli \(\displaystyle{ a, a^{\prime}, b, b^{\prime} \in X}\) to \(\displaystyle{ a+a^{\prime} \neq b+b^{\prime} }\)).

Hipoteza
Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x_n} }\) jest rozbieżny to ciąg \(\displaystyle{ \lfloor x_n \rfloor}\) ma dowolnie długie podciągi arytmetyczne


Twierdzenie Erdősa Ko- Rado (uogólnienie)
Największej moc \(\displaystyle{ k}\) rodziny przecinającej się w zbiorze \(\displaystyle{ n}\) elementowym jest dla \(\displaystyle{ n \geq 2k}\) równa \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\)


Twierdzenie Czebyszewa (uogólnienie)
Jeśli \(\displaystyle{ n \geq 6 }\) to między \(\displaystyle{ n}\) a \(\displaystyle{ 2n}\) są co najmniej dwie liczy pierwsze, jedna w formie \(\displaystyle{ 4k+1}\) a druga w formie \(\displaystyle{ 4k+ 3}\)


Film : The purpose of live - Paul Erdős


************************************
Źródła:
Bruce Schechter - My brain is open
Laszlo Lovasz - Matching Theory
John Derbyshire - Obsesja liczb pierwszych

ODPOWIEDZ