Urna z kulami - rozkład zmiennej losowej.

[Bozydar12]

W urnie znajduje się kul, z których \(\displaystyle{ 15}\) jest białych i \(\displaystyle{ 10}\) czarnych. Losujemy bez zwracania kolejno po jednej kuli. Kończymy losowanie w momencie, kiedy wyciągnięte zostaną wszystkie czarne kule. Oblicz wartość oczekiwaną liczby pozostałych w urnie białych kul.

Rozpocząłem zadanie od określenia \(\displaystyle{ X}\) - liczba pozostałych kul białych.
\(\displaystyle{ P(X=15)= \frac{10\cdot 9\cdot ...\cdot 1}{25\cdot 24\cdot ...\cdot 16} }\) - wylosowanie wszystkich kul czarnych
\(\displaystyle{ P(X=14)={10 \choose 1} \cdot \prod_{i=0}^{9} \frac{10-i}{25-i}\cdot \frac{15}{15} }\) - czyli po kolei, wybrano \(\displaystyle{ 11}\) kul, wzór newtona określa pozycję białej kuli, jest ich \(\displaystyle{ 10}\), jako że nie może być ona na końcu, nastepnie iloczyn jest prawdopodobieństwem wylosowania kul czarnych, oraz \(\displaystyle{ \frac{15}{15}}\), żeby wskazać, prawdopodobienstwo wylosowania kuli białej.
\(\displaystyle{ P(X=13)= {11 \choose 2}\cdot \prod_{i=0}^{9} \frac{10-i}{25-i}\cdot \frac{15\cdot 14}{15\cdot 14} }\)
\(\displaystyle{ P(X=k)= { 10+(15-k) \choose 15-k}\cdot \prod_{i=0}^{9} \frac{10-i}{25-i} }\). Czy dokonałem poprawnego rozkładu zmiennej? Jak następnie obliczyć wartość wyszukiwaną? Znam wzór, jednak nie jestem pewien czy wyliczanie tego to jedyny sposób na rozwiązanie tego zadania, wydaje mi się to "zbyt żmudne".

[janusz47]

Wskazówka

Innymi słowy losujemy do momentu wylosowania pierwszej kuli czarnej ile średnio będzie kul białych, patrząc z z drugiej strony b,c ..?)

\(\displaystyle{ P(1) = \frac{{23 \choose 9}}{{25\choose 15}},\ \ P(2) = \frac{{22 \choose 9}}{{25\choose 15}}, ..., P(14)=\frac{{10\choose 9}}{{25\choose 15}}, P(15)= \frac{{9\choose 9}}{{25\choose 15}} }\)



\(\displaystyle{ E(X)= ...}\)

[Bozydar12]

Wskazówka

Innymi słowy losujemy do momentu wylosowania pierwszej kuli czarnej.

Ale dlaczego? Przecież losujemy do momentu wylosowania WSZYSTKICH czarnych.
I czy mógłbym prosić o wyjaśnienie czym są te wypisane prawdopodobieństwa, bo nie za bardzo wiem skąd się wzieły.

Dodano po 57 minutach 33 sekundach:
Doszedłem do tego, iż mianownik w podanych ułamkach odpowiada u mnie \(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{9} \frac{10-i}{25-i} }\), jednak nie wiem skąd bierze się licznik, wydaje mi się że są to ustawienia kul czarnych.

Dodano po 22 minutach 47 sekundach:
Dobra, ostatecznie wbiłem w Excel te dane które miałem, porównałem z danymi pana Janusza i wyszło mi poprawnie, jako że wszystkie prawdopodobieństwa sumowały się do 1. Dla potomności EX = 1,363636... Mam jednak pytanie trochę innej natury, jest to możliwe czasowo do policzenia ręcznie w normalnym czasie? W sensie zastanawiam się, czy jest jakakolwiek szansa otrzymania takiego zadania w przyszłości na kolokwium.

[janusz47]

Wynik dokładny

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{k=1}^{15} P(\{X>k\}) = \sum_{k=1}^{15}\frac{{25-k-1\choose 9}}{{25\choose 15}}=\frac{15}{11}.}\)

Licząc na piechotę, trudno wyobrazić sobie to zadanie na kolokwium.