Prawdopodobieństwo warunkowe

[rider218]

Proszę o pomoc z zadaniem:
Dwie firmy A i B są monopolistami w produkcji pewnego elementu elektronicznego. Udział tych firm w rynku wynosi odpowiednio 80% i 20%. Badanie niezawodności wykazało, że 5% elementów wyprodukowanych przez firmę A oraz 10% przez firmę b jest wadliwe. Projektant zamontował w swoim układzie losowo wybrany element i okazało się, że jest on wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukowała go firma A.

[FasolkaBernoulliego]

Spróbuj skorzystać z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Bayesa

. Jak będziesz miał problemy, to daj znać z czym konkretnie.

[rider218]

Liczyłem to ze wzoru na twierdzenie warunkowe tj. \(\displaystyle{ p(c|a)=\frac{p(a\cap c)}{p(a)}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ p(c)}\) to Firma a czyli \(\displaystyle{ 80\%-\frac{8}{10}}\)
A - uszkodzone produkty te 5% czyli \(\displaystyle{ p(a)=\frac{1}{20}}\)??
Nie mam odpowiedzi do tego więc nie wiem czy dobrze mi wychodzi nie wiem nawet czy dobrze robię
Sorki za nieczytelność pisze z tel.

[FasolkaBernoulliego]

Warto sobie rozrysować sytuację za pomocą "drzewka" (czyli pomyśleć o doświadczeniu jako doświadczeniu dwuetapowym). Ponadto zalecałbym dobieranie oznaczeń zdarzeń w sposób bardziej odpowiadający zadaniu (np. przez A lepiej oznaczyć zdarzenie "element wyprodukowała fabryka A" - będzie to bardziej czytelne).
A - element wyprodukowała fabryka A
B = A' - element wyprodukowała fabryka B
W - element jest wadliwy
D = W' - element nie jest wadliwy

\(\displaystyle{
\begin{tabular}{ pp }
&\\
{\tiny P(A)}/ & \backslash {\tiny P(B) } \\
A & B \\
{\tiny P(W|A)} / \backslash {\tiny P(D|A)} & {\tiny P(W|B)} / \backslash {\tiny P(D|B)} \\
W \ D & W \ D
\end{tabular}
}\)

Patrząc na drzewko łatwo sobie uzmysłowić (wzór na prawd. całkowite), że np.
\(\displaystyle{ P(W) = P(A) \cdot P(W|A) + P(B) \cdot P(W|B)}\),
a np. \(\displaystyle{ P(A \cap W) = P(A) \cdot P(W|A) }\)

Ty masz do policzenia
\(\displaystyle{ P(A|W)}\)
Zastanów się, gdzie należy wstawić dane z zadania (pod które prawdopodobieństwa) i zastosuj definicję prawd. warunkowego albo wzór Bayesa.

[rider218]

Dzięki za pomoc

[janusz47]

Doświadczenie losowe opisane w zadaniu składa się z dwóch etapów:

- dostarczenie na rynek elementu elektronicznego wyprodukowanego przez jedną z firm \(\displaystyle{ A, B }\) - etap 1

- badanie wadliwości elementu elektronicznego - etap 2.

Model etapu 1

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1})}\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{ A, B \} }\)

\(\displaystyle{ A }\) - element elektroniczny pochodzi z zakładu A

\(\displaystyle{ B }\) - element elektroniczny pochodzi z zakładu B.

\(\displaystyle{ P_{1}(A) = 0,80, \ \ P_{1}(B) = 0,20 \ \ (*) }\)

Model etapu 2

\(\displaystyle{ (\Omega_{2}, P_{2}) }\)

W etapie drugim wykonujemy jedno z dwóch doświadczeń, wynikających z badania niezawodności elementów, albo zbadany element elektroniczny jest dobry, albo zbadany element jest wadliwy

\(\displaystyle{ D }\) - element jest dobry

\(\displaystyle{ W }\) - element jest wadliwy

Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych, możemy przyjąć w jednym i drugim doświadczeniu zbiór \(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ D, W\}. }\)

W każdym z tych doświadczeń trzeba wprowadzić inny rozkład prawdopodobieństwa, wynikający z produkcji elementu elektronicznego w dwóch różnych zakładach \(\displaystyle{ A, B. }\)

\(\displaystyle{ P_{2|1}(D) = 0,95, \ \ P_{2|1}(W) = 0,05, \ \ P_{2|2}(D) = 0,90, \ \ P_{2|2}(W) = 0,10 \ \ (**)}\)

Model doświadczenie dwuetapowego

Z dwuetapowym doświadczeniem związane są trzy proste doświadczenia losowe, o następujących modelach probabilistycznych

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1}), \ \ (\Omega_{2}, P_{2|1}), \ (\Omega_{2}, P_{2|2}), }\)

przy czym

\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{A, B \}, \ \ \Omega_{2} = \{D, W\} }\) rozkłady \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2} }\) dane są odpowiednio równaniami \(\displaystyle{ (*), (**).}\)

Możemy teraz dla tych trzech modeli, utworzyć model całego dwuetapowego doświadczenia

\(\displaystyle{ (\Omega^{2}, P^{2}). }\)

Przyjmujemy mianowicie \(\displaystyle{ \Omega^{2} = \Omega_{1}\times \Omega_{2}, }\) a na \(\displaystyle{ \Omega^{2} }\) rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P^{2} }\) określony za pomocą wzorów:

\(\displaystyle{ P^{2}(A, D) = P_{1}(A)\cdot P_{2|1}(D) = 0,80\cdot 0,95 = 0,76}\)

\(\displaystyle{ P^{2}(A, W) = P_{1}(A)\cdot P_{2|1}(W) = 0,80\cdot 0,05 = 0,04 }\)

\(\displaystyle{ P^{2}(B, D) = P_{1}(B)\cdot P_{2|2}(D) = 0,90 \cdot 0,20 = 0,18 }\)

\(\displaystyle{ P^{2}(B, W) = P_{1}(B) \cdot P_{2|2}(W) = 0,20\cdot 0,10 = 0,02. }\)

Mając zbudowany model dwuetapowego doświadczenia losowego, możemy obliczyć każdą wartość prawdopodobieństwa, o którą poproszą w treści zadania i odpowiedzieć na każde pytanie związane z tym modelem.

Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć wartość prawdopodobieństwa warunkowego \(\displaystyle{ P(A|W). }\)

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ P(A|W) = \frac{P(A \cap W)}{P(W)} }\)

\(\displaystyle{ P(A|W) = \frac{P^{2}(A, W)}{P^{2}(A,W)+ P^{2}(B,W)}}\)

\(\displaystyle{ P(A|W) = \frac{0,04}{0,04 + 0,02} = 0,6(6). }\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego, należy oczekiwać, że w koło \(\displaystyle{ 67\% }\) ogólnej liczby jego wyników, jeżeli zakupiony element elektroniczny okaże się wadliwy, to będzie on pochodził z zakładu \(\displaystyle{ A.}\)