Niech \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},..X_{n}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z gęstością \(\displaystyle{ f\left( \right) x >0 }\), dystrybuantą \(\displaystyle{ F\left( x \right) }\) na jakimś przedziale, i ze skończonym drugim momentem. Niech \(\displaystyle{ Z_{i}=F\left(X_{i}\right)}\) dla i=1,..,n i niech \(\displaystyle{ Z_{ \left( 1 \right)}<Z_{\left( 2 \right)}<...<Z_{\left( n \right)} }\) będzie statystyką pozycyjną.
(a)Pokaż że \(\displaystyle{ Z_{i} }\) ma gęstość
\(\displaystyle{ g_{i} = \frac{\Gamma\left( n+1 \right) }{\Gamma\left( i \right) \Gamma \left( n-i+1 \right) } z^{i-1} \left( 1-z \right)^{n-i}, }\) na (0,1)
Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję \(\displaystyle{ Z_{i} }\).
(b) Załóżmy, że n=100. Znajdź współczynnik korelacji pomiędzy \(\displaystyle{ Z_{17} }\) a \(\displaystyle{ Z_{i} }\).
(c) Załóżmy, że \(\displaystyle{ n= 2m +1 }\) i rozważmy medianę \(\displaystyle{ M_{n}^{0}=Z_{\left( \left( n+1 \right) / 2\right) } }\). Niech \(\displaystyle{ f_{n}\left( x \right) }\) będzie gęstością dla\(\displaystyle{ \sqrt{n}\left( M_{n}^{0} -\frac{1}{2}\right) }\), pokaż, że \(\displaystyle{ f_{n}\left( x \right) }\) zbiega punktowo do \(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{2\pi}}exp\left( -2x^{2} \right)}\). Użyj wzoru Stirlinga, gdzie \(\displaystyle{ k!/\left\{ k^{k} exp(-k)\sqrt{2 \pi k}\right\} }\) zmierza do 1 jako,że k zmierza do nieskończoności.
Bardzo proszę o pomoc. Niby znam ogólne wzory, jednak nie wiem jak zacząć to zadanie z tak przedstawionymi danymi.