Zadania z egzaminu wstępnego do lo III Wrocław
: 14 maja 2018, o 17:38
Moglibyście zweryfikować odpowiedzi z egzaminu wstępnego do Wrocławskiego lo nr. III?
Zad 1)Dane jest \(\displaystyle{ n=2 ^{12}}\), która z tych liczb jest większa? \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\), czy \(\displaystyle{ n^{1000}}\)
Zad 2) Czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2}+1}\) jest podzielne przez 3?
Zad 3) W trójkącie równobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) o boku \(\displaystyle{ 8}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczono taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ \left| AD\right|= 3}\). Ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Zad 4) Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 1234567891011....9899}\) przez \(\displaystyle{ 9}\).
Zad 5) Znajdź wszystkie możliwe dwójki \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniających układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{5}=2y \\ y ^{3}= 16x \end{cases}}\)
Zad 6)Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }}\) jest wymierna.
Zad 7) Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=CD=4}\) i \(\displaystyle{ AD=BC=3}\) oraz długość przekątnej \(\displaystyle{ DB}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Ile wynosi długość przekątnej \(\displaystyle{ CA}\)?
To moje odpowiedzi:
Zad 1) \(\displaystyle{ n ^{1000}=\left( 2 ^{12} \right) ^{1000}=2 ^{12000}}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n}= 2 ^{2 ^{12} } = 2 ^{4096} \Rightarrow n ^{1000}>2 ^{n}}\)
Zad 2) Możliwe reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 0,1,2}\), więc mamy:
\(\displaystyle{ n \equiv 0 \pmod{3} \\
n \equiv1 \pmod{3} \\
n \equiv 2 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2} \equiv 0 \pmod{3}\\
n^{2} \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2} \equiv 4 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2}+1 \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 2 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 5 \pmod{3}}\)
Zatem nie istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2} +1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Zad3) \(\displaystyle{ \left| BC\right|}\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1, 4\sqrt{3}}\), więc \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{49}}\)
Zad 4) Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 99}\), czyli \(\displaystyle{ 99 \cdot 50}\). Skoro suma cyfr podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9}\), to ta liczba także podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9 \Rightarrow}\) reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 9}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zad 5) \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}=\left( \frac{x ^{5} }{2}\right) ^{3} = \frac{x ^{15}}{8} = 16x}\)
\(\displaystyle{ x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128 \Rightarrow x \in Z}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ x}\) musi być równe \(\displaystyle{ 0}\). Skoro \(\displaystyle{ y=\frac{x ^{5} }{2}}\), to \(\displaystyle{ y=0}\), zatem jedyną dwójką \(\displaystyle{ x,y}\) spełniającą ten układ są \(\displaystyle{ x=0,y=0}\)
Zad 6)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }=\frac{1}{\frac{6+\sqrt{26} + 4+\sqrt{26}}{(4+ \sqrt{26})(6+\sqrt{26})}}= \frac{1}{ \frac{10+2\sqrt{26}}{50+10\sqrt{26}} } = \frac{1}{ \frac{2(5+ \sqrt{26}) }{10(5+ \sqrt{26})} } = \frac{1}{ \frac{1}{5} }= 5}\)
Zad 7)
Tutaj trochę blefowałem, bo nie wystarczyło mi czasu, dlatego nie wrzucam rozwiązania. Ale wyszło mi, że jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Poprawcie jeżeli nie.
Zad 1)Dane jest \(\displaystyle{ n=2 ^{12}}\), która z tych liczb jest większa? \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\), czy \(\displaystyle{ n^{1000}}\)
Zad 2) Czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2}+1}\) jest podzielne przez 3?
Zad 3) W trójkącie równobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) o boku \(\displaystyle{ 8}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczono taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ \left| AD\right|= 3}\). Ile wynosi długość odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Zad 4) Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 1234567891011....9899}\) przez \(\displaystyle{ 9}\).
Zad 5) Znajdź wszystkie możliwe dwójki \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniających układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{5}=2y \\ y ^{3}= 16x \end{cases}}\)
Zad 6)Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }}\) jest wymierna.
Zad 7) Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=CD=4}\) i \(\displaystyle{ AD=BC=3}\) oraz długość przekątnej \(\displaystyle{ DB}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Ile wynosi długość przekątnej \(\displaystyle{ CA}\)?
To moje odpowiedzi:
Zad 1) \(\displaystyle{ n ^{1000}=\left( 2 ^{12} \right) ^{1000}=2 ^{12000}}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n}= 2 ^{2 ^{12} } = 2 ^{4096} \Rightarrow n ^{1000}>2 ^{n}}\)
Zad 2) Możliwe reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 0,1,2}\), więc mamy:
\(\displaystyle{ n \equiv 0 \pmod{3} \\
n \equiv1 \pmod{3} \\
n \equiv 2 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2} \equiv 0 \pmod{3}\\
n^{2} \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2} \equiv 4 \pmod{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ n ^{2}+1 \equiv 1 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 2 \pmod{3} \\
n^{2}+1 \equiv 5 \pmod{3}}\)
Zatem nie istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ n ^{2} +1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Zad3) \(\displaystyle{ \left| BC\right|}\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1, 4\sqrt{3}}\), więc \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}} = \sqrt{49}}\)
Zad 4) Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 99}\), czyli \(\displaystyle{ 99 \cdot 50}\). Skoro suma cyfr podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9}\), to ta liczba także podzielna jest przez \(\displaystyle{ 9 \Rightarrow}\) reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 9}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zad 5) \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}=\left( \frac{x ^{5} }{2}\right) ^{3} = \frac{x ^{15}}{8} = 16x}\)
\(\displaystyle{ x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128 \Rightarrow x \in Z}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ x}\) musi być równe \(\displaystyle{ 0}\). Skoro \(\displaystyle{ y=\frac{x ^{5} }{2}}\), to \(\displaystyle{ y=0}\), zatem jedyną dwójką \(\displaystyle{ x,y}\) spełniającą ten układ są \(\displaystyle{ x=0,y=0}\)
Zad 6)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } + \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }=\frac{1}{\frac{6+\sqrt{26} + 4+\sqrt{26}}{(4+ \sqrt{26})(6+\sqrt{26})}}= \frac{1}{ \frac{10+2\sqrt{26}}{50+10\sqrt{26}} } = \frac{1}{ \frac{2(5+ \sqrt{26}) }{10(5+ \sqrt{26})} } = \frac{1}{ \frac{1}{5} }= 5}\)
Zad 7)
Tutaj trochę blefowałem, bo nie wystarczyło mi czasu, dlatego nie wrzucam rozwiązania. Ale wyszło mi, że jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Poprawcie jeżeli nie.