Zadania przygotowujące do konkursu.

[om941]

1. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) spełniające równość \(\displaystyle{ n(n+1)=3p}\) .
2. Uzasadnij że liczba w postaci \(\displaystyle{ n^{5} - 5n^{3} = 4n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) .
4. Odległość między środkami okręgów i promieniach \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 9}\) wynosi \(\displaystyle{ 16}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do obu okręgów w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Rozważ dwa przypadki.
5. Z Wrocławia do Poznanie pociąg osobowy jedzie 4h , a jadący tą samą trasą pociąg pospieszny potrzebuje tylko 2h . Pociąg pospieszny wyjeżdża z Poznania do Wrocławia o tej samej godzinie co pociąg osobowy z Wrocławia do Poznania. Po jakim czasie się miną?
6.Do \(\displaystyle{ 10%}\) roztworu wodnego soli dolano pewną ilość wody uzyskując \(\displaystyle{ 90}\) litrów \(\displaystyle{ 8%}\) roztworu wodnego soli. Ile litrów wody dolano i ile było litrów roztworu \(\displaystyle{ 10%}\)?
7. Pole trapezu jest równe \(\displaystyle{ P}\), a stosunek długości podstaw trapezu wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
8. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość \(\displaystyle{ h}\) i jest pięć razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

[chris_f]

Dla przykładu: zad. 2.
\(\displaystyle{ n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\)
mamy zatem iloczun pięciu kolejnych liczb całkowitych, więc wśród nich jest jedna dzieląca się przez 5.
zad. 6.
Tworzymy tabelkę
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
&Roztwor\ [l]&Stezenie\ [\%]&Sol\ [g]\\ \hline
Przed\ dolaniem&X&10\%&Y\\ \hline
Po\ dolaniu&90&8\%&Y\\ \hline \end{array}}\)
Z ostatniego wiersza wyliczamy, że czystej soli było \(\displaystyle{ Y=7,2\ g}\). Wykorzystując to z drugiego wiersza obliczamy, że początkowego roztworu było \(\displaystyle{ X=72\ l}\), czyli dolano \(\displaystyle{ 90-X=18\ l}\) wody.
zad. 4. Rysunek w pierwszym przypadku

AU

c34628be19f47fc7m.jpg (2.28 KiB) Przejrzano 182 razy

[/url]
No i z Pitagorasa \(\displaystyle{ x^2+3^2=16^2}\)
W drugim przypadku

AU

ba89334f0da8b5b0m.jpg (2.2 KiB) Przejrzano 182 razy

[/url]
I znowu Pitagoras \(\displaystyle{ x^2+9^2=16^2}\)
zad. 5.
Niech odległość z Poznania do Wrocławia wynosi \(\displaystyle{ s}\), a prędkość osobowego \(\displaystyle{ v}\). Mamy wtedy oczywiście \(\displaystyle{ 4v=s}\) i prędkość pośpiesznego \(\displaystyle{ 2v}\). Czas po jakim się spotkają niech to będzie \(\displaystyle{ t}\). Wtedy
\(\displaystyle{ tv+t\cdot2v=s}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{s}{3v}=\frac{4v}{3v}=\frac43}\)
Spotkają się po \(\displaystyle{ \frac43\ h=1\ h\ 20\ min}\)
Do pozostałych wskazówki:
do 1. Mamy, ze \(\displaystyle{ n(n+1)=3p}\), czyli albo \(\displaystyle{ n}\) albo \(\displaystyle{ n+1}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3}\) czyli jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\). Rozważ dwa przypadki pamiętaj, że \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, czyli można ją zapisać jedynie jako \(\displaystyle{ 1\cdot p}\).
do 7. Wykaż, że dwa "boczne" trójkąty mają takie same pola, górny i dolny są podobne (jaka skala podobieństwa?) i dalej troszkę pokombinować.
do 8. Dużo podobieństwa i trochę Pitagorasa.

[om941]

Etap kolejny:

Zamieszczanie skanów jest surowo zabronione.

[krantox]

Jaki poziom powyzszych zadań?
1.2,a,b,c,d,1944
b=2a;c=ba;d=cb;1944=dc
c=2a^2;d=2a^2*2a=4a^3;1944=8a^5
1944:5=a^5
243=a^5
a=3
2+3+6+18+108+1944=2081
2.Pc=198j^2
Pc=2*2a^2+2*6a^2+2*3a^2=22a^2
198=22a^2
a^2=9
a=3
V=3a*a*2a=6a^3=6*27=162j^3