Zadania z różnych dziedzin matematyki...

[leszczyk]

te zadania są pracą domową ze szkoły (gimnazjum).
bardzo bym prosił o rozwiązanie ich, bo kompletnie nie kumam o co w nich chodzi. Pomożecie ??


1. Liczby od 1 do 50 podziel na takie trzy grupy, aby sumy liczb w każdej grupie były równe. Opisz, jak to zrobiłeś.


2. Obecnie dużo biegam na nartach. Przedwczoraj przebiegłem o 3 km więcej niż wczoraj, wczoraj o 40 km mniej niż łącznie przedwczoraj i dzisiaj. Ile kilometrów przebiegłem na nartach? Ułóż odpowiednie równanie i rozwiąż je.


3. Jaka musi być najmniejsza liczba osób w grupie, aby można było stwierdzić, że kobiety stanowią więcej niż 40% lecz mniej niż 50%? Odpowiedź uzasadnij.


4. W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C wysokość i środkową. Podzieliły one kąt wewnętrzny przy wierzchołku C na trzy równe kąty. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC


5. Dziadek z trzema wnukami wybrał się na spacer do parku. Spotkali znajomego dziadka, który zapytał o wiek wnuków. Janek powiedział: "Jestem młodszy od Piotrka o 3 lata." Piotrek stwierdził: "Jestem młodszy od Tomka o 3 lata." Natomiast Tomek powiedział: "Mamy razem trzy razy mniej lat niż dziadek, a łącznie z dziadkiem mamy 96 lat." Ole lat ma każdy z wnuków? Ułóż odpowiednie równanie i rozwiąż je.


6. Wykaż, że jeżeli A, B są różnymi od zera cyframi, to
ABBA - BABA = ABAB - BAAB.

[W_Zygmunt]

Po pierwsze uwaga ogólna: warto dzielić zadania wg. dziedzin i umieszczać w odpowiednich działach. Jest pradopodobne, że różne osoby się nimi zajmą i rozwiązania będą szybciej.
AD1.
S50 = (1+50)/2 * 50 = 1725
1725/3 = 425

_Igr____II_gr___III_gr
1_____|__26___|___25
50+3__|_49____|_48+2_
47+6__|_46+4__|_45+5_
44+9__|_43+7__|_42+8_
41+12_|_40+10_|_39+11
38+15_|_37+13_|_36+14
35+18_|_34+16_|_33+17
32+21_|_31+19_|_30+20
29+24_|_28+22_|_27+23

I gr = 53*8+1 = 425
II gr = 50*7+26+49 = 425
III gr = 50*8+25 =425

Ad2.
Przedwczoraj - p
wczoraj - w
dzisiaj - d
p = 3 + w
w = p + d - 40
Mamy dwa równania i 3 niewiadome.
po podstawieniu
w = 3 + w + d - 40 / - w
odejmujemu w od obu stron
w - w = d - 37
Układ jest nieoznaczony.

Ad. 3
Jeśli by były 4 osoby to mogło by być
2k+2m 50% kobiet
1k+3m 25% "
5 osób
2k+3m 40% kobiet
3k+2m 60% "
6 osób
3k+3m 50% kobiet
2k+4m 33.3% "
Czyli musi być 7 osób( to trzeba uzasadnić)

Ad4.
ABC trójkąt w którym CE to wysokość a CF środkowa.
Kąty 3/4*|AB|/|CE| = tan(2*x).
tan(2*x)=3*tan(x)
Stosujemy wzór na tg(2*x) i podstawiamy za tg(x) zmienną np. u.
Rozwiązuejmy i wychodzi u1=0, u2=sqrt(3)/3 , u3=-sqrt(3)/3.
Zatem kąt