Matematyka.pl

@Administrator
Co do Wolframa - to właśnie miałem na myśli pisząc o "sprytnym >>olimpijskim<< szacowaniu przez wydzielanie kwadratowych wyrażeń".
Co do mojego wyobrażenia matur. Zapewne jeszcze przed maturą polska szkoła i CKE powinna przekazać maturzystom co to znaczy "Wyznacz wszystkie wartości \(\displaystyle{ m}\)". A nie post factum publikując Klucz, w którym napisze np.:
- Uczeń zauważył, że kąt \(\displaystyle{ ACB}\) jest ostry dla każdego \(\displaystyle{ m}\) - 1 punkt.
Czyli odejmujemy 1 punkt dopiero jeśli uczeń się nawet nie zająknął. To jak mają uczyć rozwiązywania zadań maturalnych nauczyciele? Że uczeń ma zauważyć, że "gdzieś dzwoni" i to wystarczy? Czy to jest matematyka? Cz może lepiej robić 70% z programu, np.zrezygnować z trygonometrii i logarytmów (poza definicjami pojęcia), a ćwiczyć porządnie logikę w równaniach np.typu "2 wartości bezwzględne", logikę w geometrii, wyobraźnię przestrzenną, zadania praktyczne z pomocą komputerów, kalkulatorów graficznych? Wy, metodycy i profesjonaliści, członkowie komisji - czy macie jakikolwiek wpływ na to czego się uczy i czego potem wymaga na maturze?
Potem mamy rozumowania w życiu publicznym: ktoś zmarł po szczepieniu na Covid - to na pewno wskutek NOP. Albo: test wykazał związki azotowe na fotelach samolotu, z kilkuprocentowym false positive, jak w urządzeniach lotniskowych - to na pewno był wybuch.

Twoje rozumowanie "ale o co chodzi, przecież gdyby C był poza pasem to nie był ostrokątny" - to mi pachnie odwracaniem implikacji. Czyli co, takie rozwiązania są logiczne i prawidłowe, bo się odpowiedź zgadza?

Nie odwracam implikacje mówię jedynie, że pomysł z pasem to krok w dobrą stronę, a nie zauważenie warunku z okręgiem to inna sprawa. Uważam, że to rozwiązanie nie jest w pełni poprawne. Ale nie powiedział bym, że jest kompletnie błędne i, że to bzdura. To rozwiązanie ma lukę która da się naprawić tak jak to pokazał JK. A to jak oceniać takie rozumowanie z luką to jeszcze inna sprawa.

Jan Kraszewski pisze: ↑12 maja 2021, o 19:44 Jesteś absolutnie pewny, że to jest układ trzech nierówności kwadratowych?

Nierówności podane przez Ciebie są oczywiście równoważne szkolnemu "iloczyn skalarny > 0" (kiedyś się nauczę LaTeXa). I trzecia z nich prowadzi ogólnie, a w tym zadaniu w szczególności - do nierówności stopnia 4. Chyba nie próbowałeś metody, która cytujesz jako "kwadratową".

Ok macie racja ta trzecia nierówność nie jest kwadratowa. Mamy coś takiego


czyli cała sprawa się sprowadza do tego co napisałeś z o nierówności \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6 >0}\). Wtedy faktywnie trzeba coś zauważyć. Pytanie czy zauważenie tego co JK to zbyt wiele dla maturzysty.

Janusz Tracz pisze: ↑12 maja 2021, o 20:31czyli cała sprawa się sprowadza do tego co napisałeś z o nierówności \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6 >0}\). Wtedy faktywnie trzeba coś zauważyć. Pytanie czy zauważenie tego co JK to zbyt wiele dla maturzysty.

Mnie to zajęło ok. godziny (głównie dlatego, że szukałem jakiegoś w miarę prostego sposobu znalezienia takiego rozkładu bez uciążliwych rachunków) i w końcu pomagałem sobie Wolframem - umówmy się, że \(\displaystyle{ \frac94}\) w pierwszym nawiasie nie jest intuicyjne, a zakres, z którego można wybrać wartość do zwinięcia pierwszego nawiasu w kwadrat w taki sposób, żeby pozostały trójmian miał ujemną deltę jest niewielki. Oczywiście można to zrobić i bez Wolframa (i pewnie szybciej ode mnie), ale na maturze masz trzy godzin na kilkanaście zadań, więc nie powinno być zadań, które wymagają takiego czasochłonnego rachunkowego kombinowania (które tak naprawdę nie sprawdza żadnej wiedzy) - jak ktoś miał pecha i zakopał się w takie rachunki, to mógł stracić naprawdę dużo cennego czasu. Jeżeli chcemy dać takie zadanie, to powinniśmy sprawdzić w nim, czy student będzie pamiętał o wszystkich trzech kątach, a rachunki nie powinny przekraczać trudnością rozwiązania nierówności kwadratowej - tym bardziej, że w gruncie rzeczy maturzysta ma pełne prawo nie wiedzieć, co z taką nierównością czwartego stopnia zrobić.

OutisPL pisze: ↑12 maja 2021, o 20:26Czyli odejmujemy 1 punkt dopiero jeśli uczeń się nawet nie zająknął. To jak mają uczyć rozwiązywania zadań maturalnych nauczyciele? Że uczeń ma zauważyć, że "gdzieś dzwoni" i to wystarczy? Czy to jest matematyka? Cz może lepiej robić 70% z programu, np.zrezygnować z trygonometrii i logarytmów (poza definicjami pojęcia), a ćwiczyć porządnie logikę w równaniach np.typu "2 wartości bezwzględne", logikę w geometrii, wyobraźnię przestrzenną, zadania praktyczne z pomocą komputerów, kalkulatorów graficznych?

Marzyciel...

OutisPL pisze: ↑12 maja 2021, o 20:26Wy, metodycy i profesjonaliści, członkowie komisji - czy macie jakikolwiek wpływ na to czego się uczy i czego potem wymaga na maturze?

Nie jestem metodykiem, a członkowie komisji nie mają żadnego wpływu na to, czego się uczy i potem wymaga. Wpływ na to mają osoby w Ministerstwie.

JK

Tak sobie pozerkałem, jak ludzie robili to zadanie na jakiejś interii / youtube i rzeczywiście smutna sprawa.

Albo sprawdzone są tylko kąty \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ BAC}\), a o kącie \(\displaystyle{ ACB}\) ani słowa (czyli to rozwiązanie z 'pasem'), albo jest napisana nierówność \(\displaystyle{ m^4 - 4m^2 - m + 6 > 0}\) i ani słowa uzasadnienia. Na jednym kanale Pani powiedziała, że tak jest i już, a kiedy ktoś w komentarzu dopytywał dlaczego, powiedziała, że można narysować (matura z wolframem?) lub policzyć pochodne i wyjdzie : D

Tę nierówność stopnia czwartego można zwinąć:

\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 -m + 2 >0 \\
(m^2-2)^2 > m-2}\)

dla \(\displaystyle{ m-2<0}\) nierówność jest spełniona z automatu
dla \(\displaystyle{ m=2}\) bądź \(\displaystyle{ m>2}\) mamy
\(\displaystyle{ m^2-2>m-2 }\)
(łatwo sprawdzić) oraz
\(\displaystyle{ m^2-2>1 \Rightarrow (m^2-2)^2 > m^2-2 }\) , czyli łącznie mamy ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m^2-2 > m -2 }\)
czyli wyjściowa nierówność spełniona jest dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\).


Zgodzę się, że zadania za trudne na maturę (część z kątem \(\displaystyle{ ACB}\))

urbos pisze: ↑12 maja 2021, o 22:39 \(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m-2}\)

dla \(\displaystyle{ m-2<0}\) nierówność jest spełniona z automatu
dla \(\displaystyle{ m=2}\) bądź \(\displaystyle{ m>2}\) mamy
\(\displaystyle{ m^2-2>m-2 }\)
(łatwo sprawdzić) oraz
\(\displaystyle{ m^2-2>1 \Rightarrow (m^2-2)^2 > m^2-2 }\) , czyli łącznie mamy ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m^2-2 > m -2 }\)
czyli wyjściowa nierówność spełniona jest dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\).

To faktycznie jest chyba najprostsza rachunkowo wersja (co nie zmienia ogólnych wniosków w kwestii tego zadania).

JK

Łatwo widać, że wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6=0}\) są zespolone więc wszystko pięknie wychodzi.

Moje przemyślenia: jeśli chodzi o zadanie 8. , to wydaje się, że można by to było robić tak:
Widzimy natychmiast, że pole tr. \(\displaystyle{ ABE}\) stanowi trzecią część trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Poprowadźmy prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ AB}\) przez punkt \(\displaystyle{ E}\) i przetnijmy ją z prostą \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\). Z twierdzenia Talesa widzimy natychmiast, że \(\displaystyle{ \frac{BP}{PE}= \frac{BD}{EX}= \frac{ BD }{\frac{2}{3}AD} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4} }\). Zatem stosunek wysokości trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ BDP}\), opuszczonych na podstawy zawarte w prostej \(\displaystyle{ AB}\), jest równy
\(\displaystyle{ \frac{BE}{BP}=\frac{7}{3} }\)
zaś oczywiście stosuenk podstaw tychże trójkątów jest równy \(\displaystyle{ 3:1}\). Zatem pole trójkąta \(\displaystyle{ BDP}\) stanowi
\(\displaystyle{ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{7}}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\), co daje nam ostatecznie, że pole tego trójkąta stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{21} }\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).


Co do zadania 14. - to niestety rozpisałem się mocno, ale moja odpowiedź nie została zapisana, po tym jak musiałem się ponownie zalogować (bardzo dziwne i niekomfortowe zjawisko). Ogólnie moje podejście było takie - heureza pokazuje, że kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) powinien być ostry; załóżmy, że nie wychodzi nam to bezpośrednio z warunku z iloczynem skalarnym (chociaż jak ktoś wcześniej zauważył - da się to zrobić dosyć zgrabnie), więc patrzymy na okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AB}\). Patrzymy na cztery styczne do niego: \(\displaystyle{ y=x+1}\), \(\displaystyle{ y=-x+2}\), \(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{5+\sqrt{2}}{2}}\). Wypisanie warunków z nierównościami widzimy, że okrąg ten nie przetnie się z parabolą nigdy. Łatwo stąd widać, że żaden punkt paraboli nie jest zawarty w kole o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) (bo jeden z dowolnych, wybranych przez siebie punktów paraboli nie leży wewnątrz tego koła), skąd wniosek, że kąt \(\displaystyle{ ACB}\) musi być ostry. Co prawda jest tu trochę dłubaniny, ale w końcu matematyka to nierzadko taka dłubanina.

Uważam mimo wszystko, że zadanie nie było przesadzone - w końcu wynik \(\displaystyle{ 100 \% }\) z matury rozszerzonej z matematyki jednak zobowiązuje. Problem był na pewno (elementarnie) do rozwiązania przez ambitniejszego maturzystę, który mierzyłby w okolice tej setki. Nie widzę więc specjalnie problemu w związku z tym zadaniem. Problem stanowią jedynie blefy zaproponowane jako "rozwiązania" tego zadania.

karolex123 pisze: ↑14 maja 2021, o 12:14Uważam mimo wszystko, że zadanie nie było przesadzone - w końcu wynik \(\displaystyle{ 100 \% }\) z matury rozszerzonej z matematyki jednak zobowiązuje. Problem był na pewno (elementarnie) do rozwiązania przez ambitniejszego maturzystę, który mierzyłby w okolice tej setki.

W ogólności można się z Tobą zgodzić, ale problem polega też na tym, że można dać zadanie trudne, ale nie powinno być zadań niespodziewanych - to nie jest olimpiada, gdzie masz 5 godzin na 3 zadania i możesz tworzyć strategie rozwiązań. Tutaj masz trzy godziny na kilkanaście zadań i nawet jeśli te zadania nie są specjalnie wyrafinowane, to wymagają uważnego przeliczenia i zapisania, co zajmuje czas. Można zastanawiać się, czy to dobrze, czy nie, że matura tak właśnie wygląda, ale skoro już tak jest, że nie jest to egzamin sprawdzający kreatywność myślenia matematycznego, tylko raczej sprawdzający sprawność w wykorzystywaniu różnych technik, to nie należy jego uczestników zaskakiwać zadaniami, z którymi nie będą widzieli, co zrobić, zwłaszcza mając tak mało czasu na znalezienie jakiegoś pomysłu (innymi słowy - zawsze mogę dać studentom na egzaminie zadanie, którego prawie nikt nie będzie w stanie rozwiązać, tylko po co?).

Zobaczymy, jakie będą statystyki dotyczące tego zadania.

JK

W 1972 podobne zadanie było na międzyszkolnym konkursie matematycznym.
Biorąc pod uwagę poziom ówczesnych matur, to zadanie oceniam jako wzięte z kosmosu

Cześć, pojawił się właśnie na stronce CKE klucz odpowiedzi. Co myślicie i jak oceniacie wykonalność zadania 14 w warunkach maturalnych (w szczególności punkt b) ?

Egzaminatorzy maturalni, z którymi pracowałem, dość zgodnie oceniali, że to zadanie to pomyłka.

Ciekawe, ile w skali kraju będzie wyników 100%...

JK

Klucz odpowiedzi sugeruje, że czytają to forum

Jestem ciekaw miny większości maturzystów studiujących klucz do rozwiązania zadania 14 ze strony CKE...

urbos pisze: ↑22 cze 2021, o 08:20 Klucz odpowiedzi sugeruje, że czytają to forum

Nawet jeśli czytają, to nic sobie z tego nie robią. Dwa ewidentnie błędne zadania klucz uznaje jako poprawne.
Zadanie 4. Klucz sugeruje odpowiedź B , czyli ''równanie ma JEDEN RÓŻNY pierwiastek''.
Zadanie 15.
Wg klucza wymiary zbiornika są tożsame z pojemnością zbiornika, czyli zbiornik ma ścianki zerowej lub minimalnej grubości dla kubatury kilkupokojowego mieszkania.