@Janusz Tracz
Jak to "jedynie" i "niefortunne sformułowanie"? To jest stwierdzenie FAŁSZYWE na którym opierają pseudorozwiązania autorzy z wszystkich gazet Orlenu w Polsce i co najmniej jednej Politechniki. Podejrzewam, że i pracownik CKE dając w pandemii takie zadanie "z miną" miał na myśli takie błędne rozwiązanie.
Maturzysta ma podać dla jakiego
\(\displaystyle{ m}\) trójkąt
\(\displaystyle{ ABC}\) jest ostrokątny. Powinien rozumować, że wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ C}\) leży w odpowiednim pasie, ale JEDNOCZEŚNIE leży poza kołem o średnicy
\(\displaystyle{ AB}\). Minimalnie inne położenie paraboli lub odcinka
\(\displaystyle{ AB}\) powoduje, że to koło przecina się z parabolą i z odpowiedzi podawanych trzeba by wyjąć przedziały odpowiadające
\(\displaystyle{ ACB}\) rozwartemu. A ścisłe rozwiązanie da końce tych przedziałów jako rozwiązania równania 4-go stopnia. Tu nie ma ono rozwiązań wymiernych, więc wyraża się przez skomplikowane pierwiastniki, wykładane tylko jako ciekawostka na wydziałach Matematyki. Kalkulatorów graficznych i rozumowań z ich pomocą polska matura nie przewiduje. Inne kraje tak.
Większość dzisiejszych maturzystów to rutyniarze z Kartą Wzorów w zębach. I im jest dostępny chyba tylko warunek z iloczynu skalarnego
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}>0}\) prowadzący do nierówności 4-go stopnia, której prawdziwości dla każdego
\(\displaystyle{ m}\) nie są wstanie wykazać ściśle. Ani sprytnym "olimpijskim" szacowaniem przez wydzielanie kwadratowych wyrażeń, ani rachunkiem różniczkowym (bo pochodna stopnia
\(\displaystyle{ 3}\) też nie ma pierwiastków wymiernych!).
O ile wiem szkoła już nie powtarza tego, co było kiedyś w standardzie, ale koło końca podstawówki, może w początku liceum: kąt
\(\displaystyle{ ACB}\) jest ostry w.i.t.w. gdy
\(\displaystyle{ C}\) nie należy do koła o średnicy
\(\displaystyle{ AB}\), jest rozwarty w.i.t.w. gdy leży wewnątrz koła, jest prosty w.i.t.w.gdy leży na okręgu ale poza punktami
\(\displaystyle{ A,B}\).
Albo równoważnie: środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta dla trójkąta ostrokątnego, na zewnątrz dla rozwartokątnego itd.
Wiele szkół uczy geometrii analitycznej jako żonglerki wzorami z Karty Wzorów, a nie jako GEOMETRII, w której czasem coś się małego policzy i jakieś równanie rozwiąże. Rachunki są nieistotne dla samej geometrycznej metody, ale dla ścisłego liczbowego wyniku.
Dla prawidłowego rozwiązania za komplet punktów, maturzysta powinien 1) zauważyć problem, że jeszcze przy
\(\displaystyle{ C}\) ma być kąt ostry, 2) uzasadnić, że punkty z paraboli nie dają kątów rozwartych. Bo tak akurat szczęśliwie odcinek i parabola leży - ale na rysunku to milimetry!
Rutynowe rozwiązanie z iloczynem skalarnym daje nierówność czwartego stopnia. Jeśli kojarzy że ostrość
\(\displaystyle{ C}\) oznacza brak punktów wspólnych paraboli z kołem, to spróbuje znaleźć punkty wspólne - ten sam wielomian stopnia
\(\displaystyle{ 4}\)!
Tyle na temat rutyny. W tym konkretnym położeniu, oczywiście są sprytne argumentacje, że spełniony jest nawet słabszy warunek wystarczający dla ostrości kąta
\(\displaystyle{ C}\). Na przykład: kąt
\(\displaystyle{ C}\) jest ostry bo (implikacja
\(\displaystyle{ \Leftarrow }\)) koło nie ma punktów wspólnych z parabolą, bo kwadrat opisany na tym kole nie ma punktów wspólnych, bo odpowiednie 2 proste równoległe do
\(\displaystyle{ AB}\) nie mają punktów wspólnych z parabolą wewnątrz pasa badanego w błędnym rozwiązaniu. Tu równania kwadratowe, więc dostępne maturzyście. I sprawny maturzysta tu powinien "zadrżeć", bo gdyby parabola była troszkę inaczej położona, to przecinałaby kwadrat, ale koła nie, i jak wtedy argumentować? Moim zdaniem maturzysta "rozszerzony" sprzed 30 lat by częściej niż dziś dostrzegł tu problem. Coś się stało złego z matematyką w Polsce
.
A "eksperci" gazet, Politechniki, być może CKE nie widzą problemu 1) i podają fałszywe rozumowanie - i to jest dobijające.