Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a=\min_{x\in \RR}f(x), \ A=\max_{x\in \RR}f(x)}\) (dla niepustego i skończonego zbioru wartości takie wartości zawsze istnieją, co jest oczywistym). Niechaj ponadto \(\displaystyle{ b=-\frac{a+A}{2}}\) (co oznacza, że \(\displaystyle{ b}\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ a+x=-(A+x)}\) i o to nam chodzi).
Gdy \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wartości rzeczywistych, to \(\displaystyle{ f(x)+b}\) takoż. Popatrzmy na funkcję
\(\displaystyle{ g: f[\RR]\rightarrow \RR}\) określoną przez \(\displaystyle{ g(x)=\left|x-\frac{a+A}{2}\right|}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ g}\) obcięta do zbioru \(\displaystyle{ f[\RR]\setminus\left\{a, A\right\}}\) ma najwyżej \(\displaystyle{ n-2}\) wartości, po prostu ponieważ jest funkcją, zaś \(\displaystyle{ \left|f[\RR]\setminus\left\{a,A\right\}\right|=n-2}\) (wyjątkowo w tym momencie kreseczki nie oznaczają modułu, lecz moc zbioru), a ponadto \(\displaystyle{ g(a)=g(A)}\), zatem \(\displaystyle{ g}\) ma najwyżej \(\displaystyle{ (n-2)+1=n-1}\) wartości, c.k.d.

Uwaga: to nie działa (tak jak i teza) dla \(\displaystyle{ n=1}\) (czyli dla funkcji stałej \(\displaystyle{ f}\)), bo wówczas mamy \(\displaystyle{ a=A}\).

Niech \(\displaystyle{ a_{1}}\) będzie pierwszym wyrazem tego ciągu, zaś \(\displaystyle{ q}\) – ilorazem. Jest
\(\displaystyle{ a_{1}\left(1+q+\ldots+q^5\right)=189, \ a_{1}\left(q^6+q^7+\ldots+q^{11}\right) =12096}\)
Dzieląc stronami drugą równość przez pierwszą, dostajemy
\(\displaystyle{ q^6=64}\), stąd \(\displaystyle{ q=2}\) i jako że \(\displaystyle{ 1+q+\ldots=q^5=\frac{q^6-1}{q-1}}\), bez problemu wyliczamy np. z pierwszego równania \(\displaystyle{ a_{1}=3}\), zatem \(\displaystyle{ a_{n}=3\cdot 2^{n-1}, \ n=1,2\ldots}\)

film YT : Matura z matematyki z okresu II RP - rozwiązujemy zadania (z kanału FizykaTV);
także może być \(\displaystyle{ q=-2}\)...

Zostaje więc jeszcze możliwość \(\displaystyle{ a_{n}=-9\cdot (-2)^{n-1}}\), którą pominąłem.

\(\displaystyle{ \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)=(\sin x+\cos x)^2 \\
2\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+2\sin^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)=2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
1- \frac{1}{2}(2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right))^2= \sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
\left| \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
x=\phi +k2\pi \ \ \ \wedge \ \ \ \phi \in \left\{ \frac{-11\pi}{12} \ ; \ \frac{-7\pi}{12} \ ; \ \frac{\pi}{12} \ ; \ \frac{5 \pi}{12} \right\}
}\)

Poruszając się po obwodzie trójkąta rozwartokątnego zgodnie z standardowym kierunkiem wskazówek zegara nazywam jego wierzchołki L(ewym), R(ozwartym) i P(rawym).
Dla wybranego wierzchołka L na 2021-kącie R i P muszą być wybrane spośród 1010 jego kolejnych wierzchołków ( idąc się po obwodzie zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara) . Stąd wynik:
\(\displaystyle{ P= \frac{ {2021 \choose 1} {1010 \choose 2} }{ {2021 \choose 3} }= \frac{3027}{4038} }\)

funkcja \(\displaystyle{ f^2(x)+f^3(x)+f^4(x)+\dots}\) jest ciągła. Czy stąd wynika ciągłość funkcji `f`?

Oblicz
\(\displaystyle{ 2+3=?\\
4+5=?}\)
i na czerwony pasek
\(\displaystyle{ 11-7=?}\)