Liczb podzielnych przez
\(\displaystyle{ 7}\) jest
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2021}{7} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{7} \right\rfloor}\), a przez
\(\displaystyle{ 13}\) tyle
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2021}{13} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{13} \right\rfloor}\). Trzeba jeszcze zliczyć ile jest liczb które dzielą się przez
\(\displaystyle{ 7}\) i
\(\displaystyle{ 13}\). Tych jest
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2021}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor}\). Zatem liczb podzielnych przez
\(\displaystyle{ 7}\) lub
\(\displaystyle{ 13}\) jest:
\(\displaystyle{ \left( \left\lfloor \frac{2021}{7} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{7} \right\rfloor\right)+\left( \left\lfloor \frac{2021}{13} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{13} \right\rfloor\right) -\left( \left\lfloor \frac{2021}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor\right) }\)
to odnosimy do mocy
\(\displaystyle{ \Omega}\) dostając prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \left\{ n\in \left\{ 666,...,2021\right\} : 7|n \text{ lub } 13|n\right\} \right) =\frac{\left( \left\lfloor \frac{2021}{7} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{7} \right\rfloor\right)+\left( \left\lfloor \frac{2021}{13} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{13} \right\rfloor\right) -\left( \left\lfloor \frac{2021}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{665}{\text{NWW}(7,13)} \right\rfloor\right)}{2021-665}= \frac{282}{1356} = \frac{47}{226} }\)
choć podobno na maturze można zapisywać wynik bez jego upraszczania. Więc może szybszą formą jest:
\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \left\{ n\in \left\{ 666,...,2021\right\} : 7|n \text{ lub } 13|n\right\} \right) = \frac{ \sum_{k=666}^{2021} \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{k\pi}{7} \right) \right\rfloor+ \sum_{k=666}^{2021} \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{k\pi}{13} \right) \right\rfloor- \sum_{k=666}^{2021} \left\lfloor \cos^2 \left( \frac{k\pi}{\text{NWW}\left( 7,13\right) } \right) \right\rfloor}{ \sum_{k=666}^{2021} \left\lfloor \cos^2 \left( k\pi \right) \right\rfloor} }\)
wydaje mi się, że to powinno zadziałać, tak czy inaczej oddaje kolejkę.