Rozgrzewka przed maturą VI

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7974
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 262 razy
Pomógł: 3124 razy

Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: kerajs » 23 kwie 2021, o 16:30

Kontynuacja tematów:
Rozgrzewka przed maturą
Rozgrzewka przed maturą II
Rozgrzewka przed maturą III
Rozgrzewka przed maturą IV
Rozgrzewka przed maturą V

ZASADY:
Osoba która poda rozwiązanie (sugeruję ukrycie go tagiem ''hide'' tak:
Ukryta treść:    
) zamieszcza jednocześnie kolejne zadanie (proszę o nadanie mu kolejnego numeru) lub informuje o zrzeczeniu się przywileju podania nowego zadania (a w tym wypadku dowolna osoba będzie mogła wstawić swoje zadanko).

Zadanie 1.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left\{ 666,667,668, ..., 2020, 2021\right\} }\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\) lub przez \(\displaystyle{ 13}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3303
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1139 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: Janusz Tracz » 23 kwie 2021, o 18:52

zadanie 2:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 kwie 2021, o 19:04

Zadanie 3
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3-px+2=0}\) to \(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3 +px^2-4=0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: Premislav » 23 kwie 2021, o 21:24

Czyżby już na starcie wystąpił błąd w numeracji? Zadanie mola jest dopiero drugim albom ślepy.
rozwiązanie:    
Zadanie nr 3 (tym razem prawdziwie nr 3 ;)):
proszę znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ x^{2}+3y^{2}=1998x}\)

mint18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 276
Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lub
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 21 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mint18 » 27 kwie 2021, o 12:38

Super, że nadal kontynuujecie ten łańcuszek!
Jednak wydaje mi się, że ostatnie zadanie znacznie odbiega od poziomu maturalnego (pochodzi z OM),
więc wrzucam link do rozwiązania i dodaje następną propozycję:

Rozwiązanie zad nr 3: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/427

Zadanie 4.
W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest prosty, oraz \(\displaystyle{ BC>AC.}\)
\(\displaystyle{ H}\) jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C.}\) \(\displaystyle{ |BH|-|AH|=|AC|.}\)
Oblicz miary kątów trójkąta \(\displaystyle{ ABC.}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: Premislav » 29 kwie 2021, o 11:30

Bez przesady z tym poprzednim, poziom raczej Węglowego Diamentu AGH. :D Można też rozwazyć trójmian kwadratowy zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i zastanowić się, kiedy jego wyróżnik jest kwadratem liczby całkowitej. Spostrzeżenia o resztach na poziomie zadania probabilistycznego z matury rozszerzonej 2010 prawie kończą temat, zostaje rozważenie przypadków.
Ukryta treść:    
Zadanie 5.: proszę znaleźć sumę wszystkich rozwiązań równania
\(\displaystyle{ \sqrt{3}|\ctg x+\tg x|=4}\) spełniających nierówność
\(\displaystyle{ \left(2-\sqrt{3}\right)^x+\left(2+\sqrt{3}\right)^x\le 4}\)
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2021, o 13:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 1 maja 2021, o 12:10

Ukryta treść:    
:arrow:
Zadanie 6
Koszałek-opałek rozsypał na stole \(\displaystyle{ 10}\) kostek do gry. Potem policzył sumę wszystkich oczek na ściankach, które mógł zobaczyć tj. nie przewracając kostek. Zapisał wynik \(\displaystyle{ 186 }\) i ruszył na spotkanie Wiosny. Po drodze zaczął myśleć ile mogło być szóstek na niewidocznych ściankach ? Ile ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: Premislav » 1 maja 2021, o 13:29

Ukryta treść:    
Zadanie 7. Oddano serię \(\displaystyle{ n}\) strzałów niezależnych od siebie. Prawdopodobieństwa chybienia celu w kolejnych strzałach równe są odpwiednio:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{9}\ldots \ \frac{1}{(n+1)^{2}}}\)
Proszę udowodnić, że prawdopodobieństwo uzyskania serii \(\displaystyle{ n}\) celnych strzałów wynosi \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2(n+1)}}\).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 1 maja 2021, o 14:27

Ukryta treść:    
Zadanie 8
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4+bx^3-1=0}\), to \(\displaystyle{ \alpha \beta}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^6 +x^4+b^2x^3-x^2-1=0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15335
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: Premislav » 1 maja 2021, o 16:38

Ukryta treść:    
Zadanie 9.
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy \(\displaystyle{ |AB|=|AC|=10, \ |BC|=12}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ AB}\), zaś punkt \(\displaystyle{ E}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ AC}\) i zachodzi
\(\displaystyle{ |AD|=|DE|=|EC|}\). Proszę znaleźć wartość \(\displaystyle{ p+q}\), gdzie \(\displaystyle{ |AD|=\frac{p}{q}, \ p,q\in \ZZ^{+}, \ (p,q)=1}\).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 2 maja 2021, o 16:42

Ukryta treść:    
Dodano po 18 godzinach 24 minutach 57 sekundach:
Zadanie 10
Trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(1, 1) \ B(0,2) \ C(2,4)}\) przekształcono przez jednokładność względem początku układu współrzędnych tak , że obraz punktu \(\displaystyle{ C}\) jest na prostej \(\displaystyle{ x+y-9=0}\). Znaleźć równanie obrazu symetralnej boku \(\displaystyle{ AB}\) w tej jednokładności.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7974
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 262 razy
Pomógł: 3124 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: kerajs » 8 maja 2021, o 09:18

10:    
11. W 2021-kącie foremnym wybrano trzy wierzchołki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkami trójkąta ostrokątnego?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 maja 2021, o 14:31

Zdanie 12
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) ma miejsce równość \(\displaystyle{ \sqrt[1 \cdot 2]{x} \cdot \sqrt[2 \cdot 3]{x} .... \sqrt[n \cdot (n+1)]{x} = \sqrt[2021]{x^{2020}} }\) gdy \(\displaystyle{ x>0}\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: a4karo » 8 maja 2021, o 15:50

12:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozgrzewka przed maturą VI

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 maja 2021, o 16:22

a4karo, Zadanie 13 jest Twoje...

ODPOWIEDZ