Matura rozszerzona z matematyki 2020

[Premislav]

15. Niech \(\displaystyle{ xy=60, \ 0<x\le y}\) (\(\displaystyle{ x}\) to krótszy bok ekranu). Wówczas zachodzi
\(\displaystyle{ S=(x+0,6)(y+1)=xy+0,6+0,6y+x=60,6+0,6y+x\ge 60,6+2\sqrt{0,6xy}=60,6+2\sqrt{36}=72,6}\)
z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ 0,6y}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) i równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ 0,6y=x}\), tj. \(\displaystyle{ 0,6y=\frac{60}{y}}\), stąd
\(\displaystyle{ y^{2}=100}\), czyli \(\displaystyle{ x=6, \ y=10}\), wszak oczywiście \(\displaystyle{ y>0}\). To było w centymetrach, bo tak mi wygodnie, po zamianie na milimetry to jest \(\displaystyle{ 60\times 100}\).

Dziwne, że tyle punktów za to zadanie, moim zdaniem dużo łatwiejsze niż dowód z planimetrii za \(\displaystyle{ 3}\) punkty.

Niezłe zaskoczenie, że dali jednokładność; osobiście nawet nie pamiętam definicji (:D), ale ładnych parę lat temu była w kartach wzorów, więc może teraz też jest.

[Pachanga]

Jak udowodnić, że w trapez można wpisać okrąg, jeśli każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy ten sam kąt?

[Lider_M]

Szkic.

Niech S będzie wierzchołkiem stożka. Niech A, B, C, D będą rzutami S na krawędzie podstawy. Niech O będzie spodkiem wysokości ostrosłupa.

Zauważ, że wtedy trójkąty SOA, SOB, SOC, SOD są takie same (dlaczego?). I punkt O ma taką własność, że jego odległości od boków trapezu są równe, więc jest to środek okręgu wpisanego w podstawę.

[Janusz Tracz]

Jak udowodnić, że w trapez można wpisać okrąg, jeśli każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy ten sam kąt?

Spodek wysokości jest środkiem okrąg wpisanego. Intuicja jest tak, że wysokość ostrosłupa to zawsze to samo \(\displaystyle{ H}\) zatem odległość od spodka do krawędzi podstawy to \(\displaystyle{ \frac{H}{\tg \alpha } }\) jeśli kąt nachylenia ścian \(\displaystyle{ \alpha }\) jest taki sam dla każdej ze ścian to od spodka jest zawsze tak samo odległa każda krawędź podstawy.

[ZbiG]

Zastanawiam się, czy w zadaniu 7 trzeba uzasadniać (dowodzić), że odcinki KL i AB są równoległe?

[Lider_M]

Jakbym miał odpowiedzieć niepoważnie, to skoro piszą w poleceniu, by spojrzeć na rysunek, to przecież z rysunku to widać (odnoszę się do wątku tegorocznej matury podstawowej i ich odpowiedzi na temat zadania nr 17).

[ZbiG]

Jakbym miał odpowiedzieć niepoważnie, to skoro piszą w poleceniu, by spojrzeć na rysunek, to przecież z rysunku to widać (odnoszę się do wątku tegorocznej matury podstawowej i ich odpowiedzi na temat zadania nr 17).

A czy w zadaniu 11 za rozpatrzenie warunku \(\displaystyle{ \Delta\left( m\right) \neq 0}\) zamiast \(\displaystyle{ \Delta\left( m\right) >0}\) obetną punkty?

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 20 sekundach:
W zadaniu 14 (bez rysunku sic!) rodzą się mi kolejne dylematy maturalne:
1. Czy w podstawie czasami nie mogą być dwa różne trapezy (o różnych polach podstawy)? Rozumuję tak, że punkt A podstawy AB trapezu może znajdować się w dwóch, różnych położeniach na prostej AB. Wystarczy zakreślić łuk o promieniu AD i środku D. O ile AD nie jest ramieniem prostopadłym do podstaw trapezu, to A może wypaść w dwóch różnych punktach. Być może istnieje jakieś uzasadnienie, że jeden z przypadków należy odrzucić, ale to rozważę, gdy się prześpię.
2. Czy coś wiadomo o wierzchołku, tzn. czy ten ostrosłup może być pochyły? Przewertowałem definicje ostrosłupów (dla pewności), i wg. mnie na początku rozwiązania powinienem założyć, że tak może być. Wtedy zadanie staje się ciut trudniejsze.

Dodano po 9 godzinach 27 minutach 9 sekundach:
Ad.1. Będą dwa różne trapezy, ale o tym samym polu. Czy trzeba zatem w rozwiązaniu wspominać o dwóch różnych przypadkach, by nie stracić punktów? Czy wystarczyłby sam tok rozumowania, który obejmuje obie możliwości?

[Kfadrat]

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 20 sekundach:
Być może istnieje jakieś uzasadnienie, że jeden z przypadków należy odrzucić

Być może w trapez w podstawie da się wpisać okrąg, co jednoznacznie określa jego wymiary

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 20 sekundach:
2. Czy coś wiadomo o wierzchołku

Tak, wszystkie ściany boczne są nachylone pod tym samym kątem

[Jan Kraszewski]

Być może w trapez w podstawie da się wpisać okrąg, co jednoznacznie określa jego wymiary

Było tuż wyżej: Matura rozszerzona z matematyki 2020

JK

[Kfadrat]

Być może w trapez w podstawie da się wpisać okrąg, co jednoznacznie określa jego wymiary

Było tuż wyżej: Matura rozszerzona z matematyki 2020

JK

Wiem, dlatego nie postawiłem znaku zapytania.

[Jan Kraszewski]

Wiem, dlatego nie postawiłem znaku zapytania.

A, ok, nie wychwyciłem intonacji.

JK

[ZbiG]

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 20 sekundach:
Być może istnieje jakieś uzasadnienie, że jeden z przypadków należy odrzucić

Być może w trapez w podstawie da się wpisać okrąg, co jednoznacznie określa jego wymiary

Niestety ten warunek niejednoznacznie określa wymiary trapezu w podstawie. Są dwa takie trapezy, ale na szczęście zachodzi warunek, że suma boków równoległych (podstaw trapezu) w obu przypadkach jest taka sama i wynosi \(\displaystyle{ 16}\). Jest równa sumie długości ramion trapezu. Ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy to samo pole, ale trapezy znacząco się różnią.
Ramie \(\displaystyle{ AD}\) może być nachylone do podstawy \(\displaystyle{ AB}\) pod kątem \(\displaystyle{ \arcsin \frac{4}{5}}\) lub \(\displaystyle{ \pi-\arcsin \frac{4}{5} }\).

[Janusz Tracz]

Może ktoś by chciał się podzielić jakimś niestandardowym rozwiązaniem? ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Nie wiem na ile to jest niestandardowe ale w zadaniu \(\displaystyle{ 8}\) zamiast robić jakiekolwiek przekształcenia można napisać jedynie, że funkcja \(\displaystyle{ f:\left( 0, \infty \right) \rightarrow \left( 0, \infty \right) }\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+2x}\) jest iniekcją (a nawet bijekcją i to widać*) więc z równości \(\displaystyle{ f(a)=f(2b)}\) która jest w treści możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ a=2b}\).

* oczywiści możemy to udowodnić dowód będzie przypominał to co większość zrobiła jako tradycyjne rozwiązanie choć nie koniczynie trzeba tak to robić.

[Kfadrat]

Jednak w ostatnim zadaniu dziedziną dłuższego boku jest przedział \(\displaystyle{ \left( 2 \sqrt{1501}-2 ;+\infty\right) }\). Trochę zagmatwana treść zadania, bo zakładam, że większość maturzystów (w tym i ja) przyjęła, że to ekran nie może być kwadratem, a nie cały smartfon.

Czy ktoś z egzaminatorów na forum wie, czy w takim przypadku odejmowany był tylko 1pkt?

[janusz47]

Zadanie optymalizacyjne o niezagmatwanej treści. Skąd taka dziedzina?

\(\displaystyle{ x - \ \ cm }\) - szerokość ekranu smarfona.

\(\displaystyle{ y - \ \ cm }\) - długość ekranu smarfona.

Założenia: \(\displaystyle{ x >0, \ \ y > 0.}\)

\(\displaystyle{ x\cdot y = 60 \ \ cm^2.}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{60}{x}. }\)

Powierzchnia smarfona

\(\displaystyle{ P(x) = \left( x + 0,6 \right)\cdot \left( y + 1 \right) = \left(x + 0,6 \right) \cdot \left (\frac{60}{x} + 1\right) }\)

\(\displaystyle{ P(x) = 60 + x + \frac{36}{x} + 0,6 }\)

Znajdujemy minimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ P(x). }\)

Pochodna pierwszego rzędu

\(\displaystyle{ P'(x) = 1 -\frac{36}{x^2} = \frac{x^2 -36}{x^2} = \frac{(x+6)(x -6)}{x^2} }\)

\(\displaystyle{ P'(x) = 0 }\) gdy \(\displaystyle{ x_{1} = -6< 0, \ \ x_{2} = 6. }\)

\(\displaystyle{ P'(x) <0, }\) gdy \(\displaystyle{ x \in ( 0, 6) }\) i \(\displaystyle{ P'(x)> 0, }\) gdy \(\displaystyle{ x \in (6, \infty). }\)

W punkcie \(\displaystyle{ x_{2} = x^{*} = 6 \ \ cm }\) funkcja \(\displaystyle{ P(x) }\) ma minimum lokalne.

Optymalna szerokość ekranu \(\displaystyle{ x^{*} = 6 \ \ cm, }\) długość ekranu \(\displaystyle{ y^{*} = \frac{60}{6}= 10 \ \ cm.}\)

Dlaczego cały ekran i cały smarfon miałby być kwadratem?

Nie mogę nic powiedzieć na temat ilości punktów za rozwiązanie tego zadania (max.7 pkt) , nie widząc Twojego rozwiązania.