Strona 2 z 2

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 7 maja 2019, o 21:34
autor: a4karo
Ponieważ
\(\displaystyle{ 2(3x^2-2xy+3y^2)+2(3z^2-2zt+3t^2)-(3(x+z)^2-2(x+z)(y+t)+\\+3(y+t)^2)-(3(x-z)^2-2(x-z)(y-t)+3(y-t)^2)=0}\)
wnioskujemy, że norna \(\displaystyle{ ||(a,b)||^2=3a^2-2ab+3b^2}\) spełnia warunek równoległoboku, czyli jest generowana przez iloczyn skalarny, zatem \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2\geq 0.}\)

Matura podstawowa z matematyki 2019

: 7 maja 2019, o 22:06
autor: MrCommando
Dobra, to jak tak, to skoro mi się tak dzisiaj nudzi, to napiszę co jeszcze przyszło mi do głowy

Rozważmy formę kwadratową \(\displaystyle{ q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem \(\displaystyle{ q(x)=3x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\). Forma biegunowa \(\displaystyle{ f}\) stowarzyszona z \(\displaystyle{ q}\) dana będzie wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=4x_1y_1+4x_2y_2-x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1-y_1y_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\) i \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2}\). Macierz \(\displaystyle{ \mathbf{X}}\) tej formy w bazie kanonicznej będzie wyglądała tak: \(\displaystyle{ \mathbf{X} =
\left[ \begin{array}{ccc}
3 & -1\\
-1 & 3
\end{array} \right]}\)
. Jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ w(\lambda)=\det(X-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=(\lambda-4)(\lambda-2)}\). Zatem wartościami własnymi danej formy są \(\displaystyle{ \lambda_1=2}\), \(\displaystyle{ \lambda_2=4}\). Skoro więc \(\displaystyle{ \lambda_i >0}\) dla \(\displaystyle{ i\in [2]}\), to na mocy kryterium wartości własnych forma kwadratowa \(\displaystyle{ q}\) jest dodatnio określona, zatem dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in\mathbb{R}}\) takich że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 >0}\). Oczywiście gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\) (gdy \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest wektorem zerowym) to wyjściowa nierówność stanie się równością. Zatem mamy to o co nam chodziło.

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 7 maja 2019, o 22:35
autor: Tmkk
Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^3}\)...

Matura podstawowa z matematyki 2019

: 7 maja 2019, o 23:36
autor: VirtualUser
tyle, że to już nie jest prawdziwe

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 7 maja 2019, o 23:58
autor: MrCommando
VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=2a^2+2b^2+a^2-ab+b^2=2a^2+2b^2+\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0}\).

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 8 maja 2019, o 00:20
autor: Jan Kraszewski
MrCommando pisze:VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=...}\).
No chyba jednak nie...
Tmkk pisze:Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^{\red 3}}\)...
JK

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 8 maja 2019, o 00:35
autor: Tmkk
Tak, miało być \(\displaystyle{ b^2}\), nie trafiłem w cyferkę, którą chciałem napisać. Swoją drogą, to też byłoby 'ciekawe' zadanie: sprawdź, czy zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3a^2 -ab + 3b^3 \ge 0}\).

Matura podstawowa z matematyki 2019

: 8 maja 2019, o 02:53
autor: Elayne
28 inaczej:
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2(a-b)^2 + (a+b)^2 \ge 0 \ \ \text{Q.E.D.}}\)
Proste jest piękne.

Matura podstawowa z matematyki 2019

: 8 maja 2019, o 06:21
autor: kerajs
I)
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2a^2 + (a-b)^2+2b^2 \ge 0}\)

II)
\(\displaystyle{ W(a)=3a^2-2ab+3b^2\\
\Delta=4b^2-4 \cdot 9b^2=4 \cdot (-8b^2) \le 0}\)


III)
Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le b}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\fill[blue!30!white] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6)--(0,6);
\fill[blue!30!white] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0)--(4,9);

\draw[red,very thick] (0,3)--(0,6)--(4,6)--(4,0)--(0,0)--(0,3)--(4,3);

\draw[blue,very thick] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6);
\draw[blue,very thick] (0,8)--(4,8);
\draw[blue,very thick] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0);
\draw[blue,very thick] (4,3)--(7,3);
\draw[blue,very thick](7,6)--(4,6);
\draw[blue] (0,4)--(4,4);
\draw (2,0) node[below] {$b$};
\draw (5.5,-0.25) node[below] {$a$};
\end{tikzpicture}}\)

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 31 paź 2019, o 20:00
autor: Niepokonana
Dziękuję Elayne, wiedziałam, że to coś z wzorami skróconego mnożenia, a nie jakimiś globalnymi rzeczami. Globalne rzeczy to tylko na maturze rozszerzonej.

Muszę powiedzieć, że ten poziom matury mnie zaskoczył, bo z tego, co już miałam (2. klasa liceum, dopiero zaczynamy) to umiałam wszystko, poza zadaniem 15. A co do tych, których nie umiałam, to po prostu nie znam wzorów, ale wydają się łatwe.

Nie ma to jak zadanie z logarytmu, które nie wymaga myślenia, bo trzeba tylko wiedzieć, co to jest logarytm.
Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 1 lis 2019, o 00:35
autor: Jan Kraszewski
Niepokonana pisze: 31 paź 2019, o 20:00Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?
Nie przyłożyłaś się... Przecież przed chwilą trenowałaś jednokładność.

JK

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 1 lis 2019, o 09:32
autor: Niepokonana
Właśnie dlatego ja się do siebie nie przyznaję. A bo ten punkt \(\displaystyle{ K}\) to jest środek jednokładności co nie? Ale co robi jednokładność na maturze podstawowej? U mnie jest to oznaczone jak to temat rozszerzony.

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 1 lis 2019, o 13:38
autor: Jan Kraszewski
A z tą jednokładnością to tylko dlatego, że właśnie o tym ostatnio pisałaś.

Tu wystarczy tw. Talesa.

JK

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

: 1 lis 2019, o 14:25
autor: Niepokonana
A jak twierdzenie Talesa to wiem co to jest.
Zgadzam się z opinią, że matura podstawowa z języka polskiego powinna być na takim samym poziomie jak matura podstawowa z matematyki.