Matura rozszerzona z matematyki 2018

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: PoweredDragon » 9 maja 2018, o 16:57

Niech kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) wynosi \(\displaystyle{ \gamma}\), zaś przy \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\), ponieważ trójkąty \(\displaystyle{ ALK}\) i \(\displaystyle{ CLM}\) są równoramienne (co wynika z tego, że punkty \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ K}\) oraz \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ M}\) są symetryczne względem dwusiecznych z odpowiednich wierzchołków, więc dwusieczna połowi te odcinki i pada na nie pod kątem prostym; trójkąt, którego wysokość jest dwusieczną i środkową jednocześnie jest równoramienny), to mamy
\(\displaystyle{ AKL = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ LKN = 180^\circ - AKL = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}}\)
Kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180^o - \alpha - \beta}\), a stąd kąty \(\displaystyle{ BNM = NMB}\) (podobnie jak poprzednie trójkąty, \(\displaystyle{ BMN}\) jest równoramienny) wynoszą \(\displaystyle{ \frac{\alpha+\gamma}{2}}\), a ponadto \(\displaystyle{ LMC = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}}\), skąd \(\displaystyle{ LMN = 180^\circ - LMC-BMN = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}}\) Stąd z kolei wprost \(\displaystyle{ LMN+LKN = 180^\circ}\), a więc na \(\displaystyle{ KLMN}\) można opisać okrąg, c.k.d.

Oczywiście zamiast kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) można by zapisywać literkami, ale w świetle ilości użytych oznaczeń, w moim dowodzie nie zmieściłoby się to tym bardziej xD
Krócej nie umiem, a mam wrażenie, że nie ma tu wydłużonego rozumowania, tylko to co konieczne do dowodu. Nie zmieściłem się i napisałem C.D. w brudnopisie i tamteż dokończyłem (dosłownie z dwóch linijek zabrakło), bo mam tak obszerne pismo...
Ostatnio zmieniony 9 maja 2018, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Rafsaf » 9 maja 2018, o 17:04

A sora, to pomyliłem, myślałem że o zad 8 ktoś się wypowiedział, że było krótkie, choć w zasadzie w tym 7 również się ledwo wyrobiłem przyjmując też taktykę z kątami.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: PoweredDragon » 9 maja 2018, o 17:08

A zad. 8 dużo krótsze

\(\displaystyle{ k^3m-km^3 = km(k-m)(k+m)}\)
Niech \(\displaystyle{ r_p(x)}\) oznacza resztę z dzielenia \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ p}\)
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ r_2(k) = r_2(m)}\), to \(\displaystyle{ r_2(k-m)=r_2(k+m) = 0}\). Jeśli nie, to jedna z nich jest parzysta i iloczyn też musi taki być.
Jeśli \(\displaystyle{ r_3(k) = r_3(m)}\), to \(\displaystyle{ r_3(k-m) = 0}\), jeśli \(\displaystyle{ 0 \neq r_3(k) \neq r_3(m) \neq 0}\), to \(\displaystyle{ r_3(k+m) = 0}\), w przeciwnym razie jedna z liczb jest podzielna przez 3 i cały iloczyn też, więc jest on zawsze podzielny przez 2 i 3, więc przez 6 Q. E. D.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Rafsaf » 9 maja 2018, o 17:11

To ja to rozbijałem na 3 przypadki \(\displaystyle{ k}\)-p, \(\displaystyle{ m}\)-p, potem \(\displaystyle{ k}\)-p, \(\displaystyle{ m}\)-np i \(\displaystyle{ k}\)-np, \(\displaystyle{ m}\)-np i wyszło sporo tego(p-parzysta, np-nieparzysta)
Ostatnio zmieniony 9 maja 2018, o 20:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Grzenio12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 wrz 2016, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Grzenio12 » 9 maja 2018, o 17:19

PoweredDragon pisze: \(\displaystyle{ AKL = 90^o - \frac{\alpha}{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ LKN = 180^o - AKL = 90^o + \frac{\alpha}{2}}\)
A nie trzeba jakoś udowodnić że punkt N leży na odcinku AB?

Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Michal2311 » 9 maja 2018, o 17:27

U mnie przyzwoicie: Niby wszystko dobrze, ale oczywiście musiałem w kwadratowej odwrócić ułamek przed co mam niepełny wynik. Niemniej jednak czasu było niewiele i nie miałem go wystarczająco, aby wymyślić krótkie rozwiązanie zadania z podzielnością przez co jest ono u mnie mało czytelne. Do końca nie byłem pewny rachunku, ale ostatecznie okazało się, że moje rozumowanie jednak było poprawne. W ogóle czasochłonne niektóre zadania i czasu na sprawdzenie za bardzo nie miałem a szkoda.

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Zahion » 9 maja 2018, o 17:32

\(\displaystyle{ k^{3}m - km^{3} = k^{3}m - km - \left( km^{3} - km\right) = m\left( k^{3} - k\right) - k\left( m^{3} - m \right)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ 6 | l^{3} - l}\) dla \(\displaystyle{ l}\) całkowitego.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: PoweredDragon » 9 maja 2018, o 17:38

Grzenio12 pisze:A nie trzeba jakoś udowodnić że punkt N leży na odcinku AB?
To nie olimpiada. Zrobili rysunek i dodali w nawiasie "zobacz rysunek", skąd wniosek, że rysunek był daną do zadania, a na rysunku \(\displaystyle{ N \in AB}\)

Intro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 9 maja 2018, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Intro » 9 maja 2018, o 17:40

Ja to zrobiłem trochę inaczej
\(\displaystyle{ km(k ^{2}-m ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ km(k ^{2}-1+1-m ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ km\left[ (k-1)(k+1)+(1-m)(1+m)\right] = km(k-1)(k+1)+km(1-m)(1+m)}\)
No i z tego od razu mamy dwie liczby podzielne przez 3 i 2, czyli rowniez przez 6
Ostatnio zmieniony 9 maja 2018, o 17:44 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 14 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: VirtualUser » 9 maja 2018, o 18:28

i jak po sprawdzeniu odpowiedzi, jakich wyników się spodziewacie?

kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 698
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 154 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: kmarciniak1 » 9 maja 2018, o 18:38

Spodziewam się około \(\displaystyle{ 85 \%}\) a jeśli będzie mniej niż \(\displaystyle{ 80}\) to chyba odwiedzę OKE

enedil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: enedil » 9 maja 2018, o 19:12

Rafsaf pisze:A sora, to pomyliłem, myślałem że o zad 8 ktoś się wypowiedział, że było krótkie, choć w zasadzie w tym 7 również się ledwo wyrobiłem przyjmując też taktykę z kątami.

Moim zdaniem dość krótkie:
\(\displaystyle{ 2 \cos^2{x} + 3\sin{x} = 2 (1 - \sin^2{x}) + 3 \sin{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 9 + 16 = 25}\)
\(\displaystyle{ \sin{x} = \frac{3 \pm 5}4 \in \{-\frac 1 2, 2\}}\)
Oczywiście, \(\displaystyle{ \sin{x} \leq 1 \Rightarrow \sin{x} = -\frac 1 2 \Rightarrow x \in \{ -\pi/6, 7\pi/6\}}\)

W kwestii zadania 10, moja taktyka jest taka:

Narysować sobie rysunek, zgadnąć, że punkt \(\displaystyle{ D = (1, 2)}\) jest punktem styczności \(\displaystyle{ AB}\) z okręgiem. Odbijając \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ D}\) dostajemy \(\displaystyle{ B}\) (bo \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny). Wychodzi \(\displaystyle{ B = (-5, 5)}\). Zatem punkt symetryczny względem \(\displaystyle{ y = -x}\) do \(\displaystyle{ D}\) (nazwijmy go \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ E = (-2, -1)}\)) leży na okręgu oraz na odcinku \(\displaystyle{ BC}\). Wyznaczamy równanie prostej \(\displaystyle{ BC}\). Druga prosta, która przechodzi przez \(\displaystyle{ C}\), to \(\displaystyle{ DO}\), gdzie \(\displaystyle{ O = (0, 0)}\). Wystarczy rozwiązać układ tych dwóch liniowych równań.

Edit: oczywiście, to że \(\displaystyle{ D}\) leży na stycznej trzeba dowieść (najłatwiej sprawdzając że \(\displaystyle{ ADO}\) jest prostokątny).

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Rafsaf » 9 maja 2018, o 19:40

Kliknąłeś chyba starą maturę, a szczerze wątpie, że któryś z nas ją pisał, chyba że oszukuje z wiekiem o co najmniej 4 lata -.-
To 8 to u nas inne było, PoweredDragon już zrobił szybciej

Osobiście spodziewam się +70%, z dużym znakiem zapytania czy będzie bliżej 70 czy bliżej 80(ponad może nawet ale mała szansa), zależy od łaskawości egzaminatora trochę i ogólnie od klucza.



Ps.
Intro bardzo ciekawy pomysł na to zadanie 8

Grzenio12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 wrz 2016, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Grzenio12 » 9 maja 2018, o 20:01

VirtualUser pisze:i jak po sprawdzeniu odpowiedzi, jakich wyników się spodziewacie?
Między 80 a 90%, w zależności od nastroju sprawdzającego


A jeszcze mam takie pytanie, czy zadanie z prawdopodobieństwa musi być rozwiązane z użyciem omegi itp? Czy może być takie bardziej słowne rozwiązanie?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26155
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4372 razy

Matura rozszerzona z matematyki 2018

Post autor: Jan Kraszewski » 9 maja 2018, o 20:15

kmarciniak1 pisze:Czy Pan Jan Kraszewski, orientuje się, ile punktów się traci za nieuwzględnienie jednego czynnika w liczeniu zdarzeń sprzyjających?
Zazwyczaj -1 pkt, ale to mimo wszystko zależy od zadania.

JK

ODPOWIEDZ