Kilka zadanek przed maturą.

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kerajs » 19 lut 2016, o 19:20

1.
Na ile części 4 proste mogą podzielić płaszczyznę? Odpowiedź przedstaw w postaci ciągu malejącego. Podaj w formie wyrażenia wykładniczego średnią geometryczną z wyrazów tego ciągu.

2.
Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ y=-2x +4}\) i do osi układu współrzędnych.

3.
Z dwóch wierzchołków kwadratu o boku R zatoczono okręgi o promieniu R dzielące kwadrat na części, z których dwie są symetryczne. Podaj możliwe symetrie miedzy tymi częściami oraz oblicz ich pole.

4.
Jedna z krawędzi ostrosłupa o podstawie kwadratowej o boku 1 jest prostopadła do podstawy i ma długość 4. Znajdź kąty miedzy jego ścianami bocznymi. Następnie ostrosłup tniemy 4 płaszczyznami równoległymi do podstawy na 5 brył o równych objętościach. Podaj wymiary bryły środkowej.

5.
W trójkącie ABC gdzie \(\displaystyle{ \left| AB\right| =5 \ , \ \left| AC\right| =6 \ , \ \left| BC\right| =7}\) znajdź :
- wysokość \(\displaystyle{ \left| CC'\right|}\)
- długość dwusiecznej kąta C zawartej w trójkącie
- długość symetralnej boku AB zawartej w trójkącie
- promień okręgu opisanego na trójkącie
- promień okręgu wpisanego w trójkąt

6.
Boki trójkąta prostokątnego o polu 4 tworzą ciąg geometryczny oblicz stosunek pola okręgu opisanego na trójkącie do pola okręgu wpisanego w trójkąt.

7.
Losujemy trzy różne wierzchołki sześcianu o boku 2. Jakie jest prawdopodobieństwo że wylosowane wierzchołki tworzą trójkąt o polu większym od \(\displaystyle{ \frac{26}{9}}\) ?

8.
Czy istnieje wielokąt wypukły mający : a)27, b)31, c)35, d)3320, e)2003000 przekątnych i jaki to n-kąt?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 797
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Milczek » 19 lut 2016, o 19:27

2. Szukamy punktów przecięcia z osiami i okręgu wpisanego w trójkąt ograniczonymi prostą i osiami układu.
Będę w domciu wrzucę pełne . Obiecuje !

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7266
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Kartezjusz » 19 lut 2016, o 19:41

8. Liczbę przekątnych wyznacza wzór \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 797
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Milczek » 19 lut 2016, o 19:48

6.Oznaczamy boki \(\displaystyle{ a=\frac{x}{k},b=x,c= xk}\)<- przeciwprostokątna.
\(\displaystyle{ k}\) to iloraz ciągu geometrycznego.

Lecimy ze wzorami na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}=\frac{(a+b+c)r}{2}}\) i wykorzystujemy że \(\displaystyle{ 4k=x^2}\)
Stosunek pól tych okręgów to inaczej stosunek promieni okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt : \(\displaystyle{ d=\frac{R}{r}}\)

Na pewno obliczę dokładnie jak będę miał możliwość !

Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 727
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 160 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kmarciniak1 » 20 lut 2016, o 10:52

\(\displaystyle{ 1.}\)
\(\displaystyle{ 11}\) obszarów gdy każde \(\displaystyle{ 2}\) proste nie są równoległe
\(\displaystyle{ 10}\) obszarów gdy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) proste są równoległe
\(\displaystyle{ 8}\) obszarów gdy \(\displaystyle{ 3}\) proste są równoległe
\(\displaystyle{ 5}\) obszarów gdy wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) są równoległe
\(\displaystyle{ 4}\) obszary gdy \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie
\(\displaystyle{ 3}\) obszary gdy \(\displaystyle{ 3}\) proste nachodzą na siebie
\(\displaystyle{ 2}\) obszary gdy wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) proste nachodzą na siebie
teraz trochę bardziej kombinowane ułożenia:
\(\displaystyle{ 6}\) obszarów gdy \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie a pozostałe \(\displaystyle{ 2}\) przecinają się właśnie na tych \(\displaystyle{ 2}\) prostych(nie wiem jak to ładniej zapisać )
\(\displaystyle{ 9}\) obszarów gdy ułożymy proste tak jakbyśmy grali w kółko i krzyżyk(wszyscy wiedzą o co chodzi
\(\displaystyle{ 7}\) obszarów będzie wtedy gdy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) proste nachodzą na siebie i żadne nie są równoległe(czyli tak naprawdę mamy \(\displaystyle{ 3}\) proste i maksymalna liczbę obszarów)
Oczywiście są tez inne ułożenia ale liczba obszarów będzie się powtarzała.
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2}\)
średnia geometryczna
\(\displaystyle{ G=5,755931=39916800 ^{ \frac{1}{10} }}\)

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7266
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Kartezjusz » 20 lut 2016, o 16:46

3.Rozważ dwa przypadki.
Wierzchołki łączą bok
Wierzchołki łączą przekatną

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kerajs » 1 mar 2016, o 21:57

9.
Trapez o podstawach \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2x}\) przecięto prostą do nich równoległą. Wylicz długość odcinka prostej zawartej w trapezie wiedząc że
a) pola obu części trapezu są równe,
b) stosunek ich pól wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

10.
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
\(\displaystyle{ 2x^3+3x^2-12x+2\log a=0}\)
w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).

11.
Wierzchołki wielokąta mają współrzędne \(\displaystyle{ (a,b)}\) które są rozwiązaniem w liczbach naturalnych równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}= \frac{1}{2}}\).
Czy istnieje okrąg opisany lub okrąg wpisany w ten wielokąt? Jeśli istnieje/istnieją to podaj jego/ich równanie.

12.
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (2,1)}\), która jest styczna do:
a) okręgu: \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
b) paraboli: \(\displaystyle{ y=x^2}\)
c) hiperboli: \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\)
d) elipsy: \(\displaystyle{ x^2+2y^2=2}\)
e) krzywej: \(\displaystyle{ (x+y)^2-2(x+3)(y+4)+45=0}\)

13.
Znajdź styczne do obu okręgów:
a) \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 \ \ , \ \ (x-2 \sqrt{2} )^2+(y-2 \sqrt{2} )^2=4}\)
b) \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 \ \ , \ \ x^2+(y-2)^2=1}\)

14.
Oblicz :
a) ilość cyfr we wszystkich liczbach trzycyfrowych,
b) ilość zer we wszystkich liczbach trzycyfrowych,
b) sumę wszystkich cyfr ze wszystkich liczb trzycyfrowych.

15.
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)= x^{n}+ax+b}\).

16.
Podaj zbiór wartości funkcji:
a)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3} \sin x- \cos x}\)
b)
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{1-\sin ^{4}x-\cos ^{4}x }{1-\cos ^{2}x-\sin ^{6}x }}\)
c)
\(\displaystyle{ h(x)=\sin \alpha -2\sin ^2 \alpha +4\sin ^3 \alpha -....}\)
d)
\(\displaystyle{ k(x)= \frac{\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}\)
Ostatnio zmieniony 1 mar 2016, o 22:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Pozwoliliśmy na jeden temat z zadaniami w dziale, który do tego nie służy. Nie dubluj zatem takich tematów. Poprawa wiadomości. Używaj znaków interpunkcyjnych.

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 797
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Milczek » 2 mar 2016, o 15:24

Zad \(\displaystyle{ 15}\). Lubię wielomiany więc od tego zacząłem. Generalnie nie dawało mi spokoju od 8:50 mniej więcej

Rozwiązanie :
Musi zachodzić że \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^n+ax+b=x^n-x^2+x^2+ax+b=x^{2}(x^{n-2}-1) + x^2+ax+b}\)
Ok to teraz widać dla \(\displaystyle{ x^2(x^{n-2}-1) = 0}\) liczba \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-2}\) krotnym.
Lecz teraz szukamy aby \(\displaystyle{ x^2+ax+b=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) ma być pierwiastkiem dwukrotnym. Tutaj już raczej widać że jest to spełnione dla \(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2-2x+1}\) czyli szukane wartości parametrów to \(\displaystyle{ a=-2,b=1}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie i zweryfikowanie czy jest dobrze, napisać tutaj bądź na pw, chcę się ustrzec od błędów.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kerajs » 2 mar 2016, o 15:48

Ad 15.
Milczek pisze:Ok to teraz widać dla \(\displaystyle{ x^2(x^{n-2}-1) = 0}\) liczba \(\displaystyle{ x=1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-2}\) krotnym.
To niesłuszny wniosek. Kontrprzykłady:
\(\displaystyle{ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)}\)

Prawidłowe podejście:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\ W'(1)=0 \end{cases} \\ \begin{cases} b=n-1 \\ a=-n \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{n}-nx+n-1}\)
Sprawdź to dla dowolnego n. (np \(\displaystyle{ n=5}\)) dwukrotnie dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\)

Ad 2.
Tam może być więcej rozwiązań (może nawet cztery)

Ad 6.
Brakuje jednego równania aby ułożyć oznaczony układ równań.
Ostatnio zmieniony 2 mar 2016, o 15:59 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 797
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Milczek » 2 mar 2016, o 15:58

kerajs, ok widzę , na wytłumaczenie tylko dodam że był to pierwszy pomysł o 8:50 lecz brak tego rozwiązani wynikał z braku wiedzy, pisaliśmy o tym tutaj 403289.htm , co skłania mnie aby wrócić tam do tematu
Edit. Wiemy dodatkowo że \(\displaystyle{ 1+a+b=0}\) co umożliwia rozwiązanie układu.

\(\displaystyle{ 16}\)
Ukryta treść:    
-- 2 mar 2016, o 17:40 --

\(\displaystyle{ 10}\)
Ukryta treść:    
Proszę o sprawdzenie bo wyniki dziwne
Ostatnio zmieniony 2 mar 2016, o 21:27 przez Milczek, łącznie zmieniany 2 razy.

AndrzejK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 974
Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 102 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: AndrzejK » 2 mar 2016, o 19:27

11.
Ukryta treść:    

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 797
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Milczek » 2 mar 2016, o 19:39

AndrzejK pisze:11.
Ukryta treść:    
W teorii owszem nic trudnego , technicznie mam problem , kwestia dokładności, jak dam radę to wstawię

-- 2 mar 2016, o 22:49 --

\(\displaystyle{ 12}\)
a)
Ukryta treść:    
b)
Ukryta treść:    
c)
Ukryta treść:    
Dwa kolejne przykłady d),e), ambitniejsze , doczytam to może coś wyciągnę.

-- 3 mar 2016, o 00:50 --

\(\displaystyle{ 14}\) a), b) trochę lepiej
Ukryta treść:    
-- 3 mar 2016, o 03:10 --

\(\displaystyle{ 14}\) Inaczej jeszcze nie umiem.
c)
Ukryta treść:    
-- 3 mar 2016, o 03:37 --13
b)
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kerajs » 9 mar 2016, o 16:35

17.
Punkty \(\displaystyle{ \left( 0,-2 \sqrt{3} \right) \ ,\ \left( 0,2 \sqrt{3} \right)}\) są wierzchołkami sześciokąta foremnego.
Napisz równanie okręgu:
a)opisanego na tym sześciokącie
b)wpisanego w ten sześciokąt

18.
Ostrosłup o wysokości 1 przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy ostrosłupa uzyskując dwie bryły. Oblicz odległość miedzy płaszczyzną tnącą a podstawą ostrosłupa gdy:
a) otrzymane bryły mają równą objętość
b) stosunek objętości otrzymanych brył wynosi 2:1

19.
Rozwiąż nierówności:
a)
\(\displaystyle{ \left( \sin3x+1 \right) \left( \cos2x- \frac{1}{2} \right) \ge 0}\)
b)
\(\displaystyle{ \left( \log_2 x-0! \right) \left( 2^{x^2}- \sqrt{2} ^{ \left( 2\sqrt{2} \right) ^2} \right) \left( x^2- {1 \choose 1}x-{2 \choose 0} \right) <0}\)
c)
\(\displaystyle{ \left(\log_3x^2-2 \right) \left(1- \log_3 \left( 4-x \right) \right) \left(x^3-2x^2-15x \right) \le 0}\)

20.
Dwa współczynniki trójmianu kwadratowego są iloczynem i sumą pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right) =x^3+5x^2+8x+4}\), a jego zbiór wartości to \(\displaystyle{ \left\langle -9, \infty \right)}\). Znajdź miejsca zerowe tego trójmianu.

21.
Dla jakiej wartości parametru ,,k'
a)pierwiastki
b)rozwiązania
równania:\(\displaystyle{ x^4-40x^2+k=0}\)tworzą ciąg arytmetyczny.

22.
W pojemniku znajduje się 16 kul w tym tylko,,n' czarnych. Losujemy sześć razy jedną kulę po czym ją zwracamy. Jaką wartość musi mieć ,,n' aby prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie czterech kul czarnych było największe.

23.
Budynek palmiarni miejskiej ma kształt półkuli o promieniu 12 m. Postanowiono rozbudować palmiarnię :
Projekt A) przez nakrycie jej dachem w kształcie ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego stycznych do istniejącej kopuły palmiarni.(ściany boczne ostrosłupa są styczne do półkuli). Koszt metra kwadratowego dachu to 1000 zł.
Projekt B) przez nakrycie jej dachem jak w projekcie a) do wysokości kopuły i zbudowanie na tej wysokości płaskiego tarasu widokowego (ściany boczne i górna podstawa ostrosłupa ściętego są styczne do półkuli). Koszt metra kwadratowego dachu to 1000 zł, a tarasu 2000 zł.
Jakie będą wymiary podstawy nowej palmiarni oraz koszt rozbudowy przy najtańszych projektach A i B.

24.
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A= \left( 2,1 \right)}\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem:
a) dwa razy mniejszym
b) trzy razy większym
niż prosta \(\displaystyle{ 4y-x-3=0}\).



14 inaczej:
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 9 mar 2016, o 17:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14931
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4941 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: Premislav » 9 mar 2016, o 19:31

Ja mam małe pytanie odnośnie treści zadania nr 21: czym się różnią pierwiastki równania od rozwiązań? Serio nie wiem. Wiem, że np. \(\displaystyle{ \sqrt{25}=5}\), a zbiorem rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{2}=25}\) jest
\(\displaystyle{ \left\{ -5,5\right\}}\), ale nie mam zielonego pojęcia, jak to się przenosi na to zadanie. Sformułowanie jest śliskie, bo nie zaznaczono, czy pierwiastki rzeczywiste, czy wszystkie, a zatem można by rozważyć to zadanie ogólnie w liczbach zespolonych, ignorując ujemne wyróżniki itd. Trochę może czasu minęło, odkąd liczby zespolone pojawiały się na maturze (dokładnie nie wiem), ale nie widzę innego zastosowania dla rozróżnienia takiego, jak w treści.

Zadanie 20.
Ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia łatwo dostajemy
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-5 \wedge x_{1}x_{2}x_{3}=-4}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Ponadto wiemy, że rozważany trójmian kwadratowy ma minimum globalne równe \(\displaystyle{ -9}\), toteż jego współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.
Czyli jest on postaci \(\displaystyle{ ax^{2}-5x-4}\) lub \(\displaystyle{ ax^{2}-4x-5}\) dla pewnego dodatniego \(\displaystyle{ a}\). Ponadto wiemy, że \(\displaystyle{ - \frac{\Delta}{4a}=-9}\), tj.
\(\displaystyle{ \frac{-16a-25}{4a}=-9 \vee \frac{-20a-16}{4a}=-9}\), a stąd \(\displaystyle{ a= \frac{4}{5}\vee a= 1}\) (odpowiednio) i dalej wiadomo.
Poproszę o szybsze rozwiązanie. Pewnie jakaś prosta tożsamość algebraiczna, którą przeoczyłem. Zapewne można jakoś znowu z Viete'a bez babrania się z wyliczaniem \(\displaystyle{ a}\).

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Kilka zadanek przed maturą.

Post autor: kerajs » 9 mar 2016, o 21:40

@ Premislav
Problem z rozróżnieniem pierwiastków równania od rozwiązań równania w zadaniu 21 istnieje także w niejawny sposób w zadaniu 20, czyli tym które rozwiązałeś.
Tam (w zad 20.) maturzysta najpewniej rozwiązywałby równanie (bo wzory Viety zna (?) tylko dla trójmianu):
\(\displaystyle{ x^3+5x^2+8x+4=0 \\ (x+2)(x+2)(x+1)=0}\)
To równanie ma dwa rozwiązania, dwa miejsca zerowe.
A ile ma pierwiastków? Dwa czy trzy? Dla Ciebie to trzy pierwiastki i tak też interpretują to wzory Vieta dając współczynniki: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=-2-2-1=-5 \ , \ x_1x_2x_3=(-2)(-2)(-1)=-4}\)
Ale część nauczycieli utożsamia pierwiastek z rozwiązaniem i ma tu dwa pierwiastki w tym jeden podwójny co daje inne współczynniki \(\displaystyle{ -2-1=-3 \ , \ (-2)(-1)=2}\) i cztery (zupełnie inne od Twoich dwóch rozwiązania)
Przykłady takiego podejścia:
371326.htm
395870.htm
400077.htm

Inny przykład z zadania 21:
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) pierwiastki: \(\displaystyle{ -2 \sqrt{10} \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ 2 \sqrt{10} }}\) nie tworzą ciągu arytmetycznego, ale rozwiązania \(\displaystyle{ -2 \sqrt{10} \ , \ 0 \ , \ 2 \sqrt{10} }}\) już takim ciągiem są.
Jednak przy utożsamianiu pierwiastków z rozwiązaniami dla \(\displaystyle{ k=0}\)jest ciąg arytmetyczny ale wtedy Twoje rozwiązanie zadania 20. jest całkowicie błędne.

Przyznaję, sporo tych zadań jest czasochłonna i niekoniecznie wieńczy je ,,ładny' wynik. Ty w zadaniu 20 wybrałeś (chyba) najszybszą metodę rozwiązania.

ODPOWIEDZ