Matura rozszerzona z matematyki 2021

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
OutisPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 maja 2021, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 100

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: OutisPL » 12 maja 2021, o 20:26

@Administrator
Co do Wolframa - to właśnie miałem na myśli pisząc o "sprytnym >>olimpijskim<< szacowaniu przez wydzielanie kwadratowych wyrażeń".
Co do mojego wyobrażenia matur. Zapewne jeszcze przed maturą polska szkoła i CKE powinna przekazać maturzystom co to znaczy "Wyznacz wszystkie wartości \(\displaystyle{ m}\)". A nie post factum publikując Klucz, w którym napisze np.:
- Uczeń zauważył, że kąt \(\displaystyle{ ACB}\) jest ostry dla każdego \(\displaystyle{ m}\) - 1 punkt.
Czyli odejmujemy 1 punkt dopiero jeśli uczeń się nawet nie zająknął. To jak mają uczyć rozwiązywania zadań maturalnych nauczyciele? Że uczeń ma zauważyć, że "gdzieś dzwoni" i to wystarczy? Czy to jest matematyka? Cz może lepiej robić 70% z programu, np.zrezygnować z trygonometrii i logarytmów (poza definicjami pojęcia), a ćwiczyć porządnie logikę w równaniach np.typu "2 wartości bezwzględne", logikę w geometrii, wyobraźnię przestrzenną, zadania praktyczne z pomocą komputerów, kalkulatorów graficznych? Wy, metodycy i profesjonaliści, członkowie komisji - czy macie jakikolwiek wpływ na to czego się uczy i czego potem wymaga na maturze?
Potem mamy rozumowania w życiu publicznym: ktoś zmarł po szczepieniu na Covid - to na pewno wskutek NOP. Albo: test wykazał związki azotowe na fotelach samolotu, z kilkuprocentowym false positive, jak w urządzeniach lotniskowych - to na pewno był wybuch.
Ostatnio zmieniony 12 maja 2021, o 21:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3311
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2021, o 20:31

Twoje rozumowanie "ale o co chodzi, przecież gdyby C był poza pasem to nie był ostrokątny" - to mi pachnie odwracaniem implikacji. Czyli co, takie rozwiązania są logiczne i prawidłowe, bo się odpowiedź zgadza?
Nie odwracam implikacje mówię jedynie, że pomysł z pasem to krok w dobrą stronę, a nie zauważenie warunku z okręgiem to inna sprawa. Uważam, że to rozwiązanie nie jest w pełni poprawne. Ale nie powiedział bym, że jest kompletnie błędne i, że to bzdura. To rozwiązanie ma lukę która da się naprawić tak jak to pokazał JK. A to jak oceniać takie rozumowanie z luką to jeszcze inna sprawa.
Jan Kraszewski pisze:
12 maja 2021, o 19:44
Jesteś absolutnie pewny, że to jest układ trzech nierówności kwadratowych?
Nierówności podane przez Ciebie są oczywiście równoważne szkolnemu "iloczyn skalarny > 0" (kiedyś się nauczę LaTeXa). I trzecia z nich prowadzi ogólnie, a w tym zadaniu w szczególności - do nierówności stopnia 4. Chyba nie próbowałeś metody, która cytujesz jako "kwadratową".
Ok macie racja ta trzecia nierówność nie jest kwadratowa. Mamy coś takiego

\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB|^2+|AC|^2> |BC|^2 \\ |AB|^2+|BC|^2>|AC|^2 \\ |BC|^2+|AC|^2>|AB|^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2+m-2>0 \\ m^2+m-4<0 \\ m^4-4 m^2-m+6 >0 \end{cases} }\)

czyli cała sprawa się sprowadza do tego co napisałeś z o nierówności \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6 >0}\). Wtedy faktywnie trzeba coś zauważyć. Pytanie czy zauważenie tego co JK to zbyt wiele dla maturzysty.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Jan Kraszewski » 12 maja 2021, o 21:15

Janusz Tracz pisze:
12 maja 2021, o 20:31
czyli cała sprawa się sprowadza do tego co napisałeś z o nierówności \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6 >0}\). Wtedy faktywnie trzeba coś zauważyć. Pytanie czy zauważenie tego co JK to zbyt wiele dla maturzysty.
Mnie to zajęło ok. godziny (głównie dlatego, że szukałem jakiegoś w miarę prostego sposobu znalezienia takiego rozkładu bez uciążliwych rachunków) i w końcu pomagałem sobie Wolframem - umówmy się, że \(\displaystyle{ \frac94}\) w pierwszym nawiasie nie jest intuicyjne, a zakres, z którego można wybrać wartość do zwinięcia pierwszego nawiasu w kwadrat w taki sposób, żeby pozostały trójmian miał ujemną deltę jest niewielki. Oczywiście można to zrobić i bez Wolframa (i pewnie szybciej ode mnie), ale na maturze masz trzy godzin na kilkanaście zadań, więc nie powinno być zadań, które wymagają takiego czasochłonnego rachunkowego kombinowania (które tak naprawdę nie sprawdza żadnej wiedzy) - jak ktoś miał pecha i zakopał się w takie rachunki, to mógł stracić naprawdę dużo cennego czasu. Jeżeli chcemy dać takie zadanie, to powinniśmy sprawdzić w nim, czy student będzie pamiętał o wszystkich trzech kątach, a rachunki nie powinny przekraczać trudnością rozwiązania nierówności kwadratowej - tym bardziej, że w gruncie rzeczy maturzysta ma pełne prawo nie wiedzieć, co z taką nierównością czwartego stopnia zrobić.
OutisPL pisze:
12 maja 2021, o 20:26
Czyli odejmujemy 1 punkt dopiero jeśli uczeń się nawet nie zająknął. To jak mają uczyć rozwiązywania zadań maturalnych nauczyciele? Że uczeń ma zauważyć, że "gdzieś dzwoni" i to wystarczy? Czy to jest matematyka? Cz może lepiej robić 70% z programu, np.zrezygnować z trygonometrii i logarytmów (poza definicjami pojęcia), a ćwiczyć porządnie logikę w równaniach np.typu "2 wartości bezwzględne", logikę w geometrii, wyobraźnię przestrzenną, zadania praktyczne z pomocą komputerów, kalkulatorów graficznych?
Marzyciel...
OutisPL pisze:
12 maja 2021, o 20:26
Wy, metodycy i profesjonaliści, członkowie komisji - czy macie jakikolwiek wpływ na to czego się uczy i czego potem wymaga na maturze?
Nie jestem metodykiem, a członkowie komisji nie mają żadnego wpływu na to, czego się uczy i potem wymaga. Wpływ na to mają osoby w Ministerstwie.

JK

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1532
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 457 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Tmkk » 12 maja 2021, o 22:21

Tak sobie pozerkałem, jak ludzie robili to zadanie na jakiejś interii / youtube i rzeczywiście smutna sprawa.

Albo sprawdzone są tylko kąty \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ BAC}\), a o kącie \(\displaystyle{ ACB}\) ani słowa (czyli to rozwiązanie z 'pasem'), albo jest napisana nierówność \(\displaystyle{ m^4 - 4m^2 - m + 6 > 0}\) i ani słowa uzasadnienia. Na jednym kanale Pani powiedziała, że tak jest i już, a kiedy ktoś w komentarzu dopytywał dlaczego, powiedziała, że można narysować (matura z wolframem?) lub policzyć pochodne i wyjdzie : D

urbos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 18 maja 2010, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: urbos » 12 maja 2021, o 22:39

Tę nierówność stopnia czwartego można zwinąć:

\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 -m + 2 >0 \\
(m^2-2)^2 > m-2}\)


dla \(\displaystyle{ m-2<0}\) nierówność jest spełniona z automatu
dla \(\displaystyle{ m=2}\) bądź \(\displaystyle{ m>2}\) mamy
\(\displaystyle{ m^2-2>m-2 }\)
(łatwo sprawdzić) oraz
\(\displaystyle{ m^2-2>1 \Rightarrow (m^2-2)^2 > m^2-2 }\) , czyli łącznie mamy ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m^2-2 > m -2 }\)
czyli wyjściowa nierówność spełniona jest dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\).


Zgodzę się, że zadania za trudne na maturę (część z kątem \(\displaystyle{ ACB}\))
Ostatnio zmieniony 12 maja 2021, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Jan Kraszewski » 12 maja 2021, o 23:15

urbos pisze:
12 maja 2021, o 22:39
\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m-2}\)

dla \(\displaystyle{ m-2<0}\) nierówność jest spełniona z automatu
dla \(\displaystyle{ m=2}\) bądź \(\displaystyle{ m>2}\) mamy
\(\displaystyle{ m^2-2>m-2 }\)
(łatwo sprawdzić) oraz
\(\displaystyle{ m^2-2>1 \Rightarrow (m^2-2)^2 > m^2-2 }\) , czyli łącznie mamy ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ (m^2-2)^2 > m^2-2 > m -2 }\)
czyli wyjściowa nierówność spełniona jest dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\).
To faktycznie jest chyba najprostsza rachunkowo wersja (co nie zmienia ogólnych wniosków w kwestii tego zadania).

JK

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3311
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2021, o 23:42

Łatwo widać, że wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ m^4-4 m^2-m+6=0}\) są zespolone więc wszystko pięknie wychodzi.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: karolex123 » 14 maja 2021, o 12:11

Moje przemyślenia: jeśli chodzi o zadanie 8. , to wydaje się, że można by to było robić tak:
Widzimy natychmiast, że pole tr. \(\displaystyle{ ABE}\) stanowi trzecią część trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Poprowadźmy prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ AB}\) przez punkt \(\displaystyle{ E}\) i przetnijmy ją z prostą \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\). Z twierdzenia Talesa widzimy natychmiast, że \(\displaystyle{ \frac{BP}{PE}= \frac{BD}{EX}= \frac{ BD }{\frac{2}{3}AD} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4} }\). Zatem stosunek wysokości trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ BDP}\), opuszczonych na podstawy zawarte w prostej \(\displaystyle{ AB}\), jest równy
\(\displaystyle{ \frac{BE}{BP}=\frac{7}{3} }\)
zaś oczywiście stosuenk podstaw tychże trójkątów jest równy \(\displaystyle{ 3:1}\). Zatem pole trójkąta \(\displaystyle{ BDP}\) stanowi
\(\displaystyle{ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{7}}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\), co daje nam ostatecznie, że pole tego trójkąta stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{21} }\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).


Co do zadania 14. - to niestety rozpisałem się mocno, ale moja odpowiedź nie została zapisana, po tym jak musiałem się ponownie zalogować (bardzo dziwne i niekomfortowe zjawisko). Ogólnie moje podejście było takie - heureza pokazuje, że kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) powinien być ostry; załóżmy, że nie wychodzi nam to bezpośrednio z warunku z iloczynem skalarnym (chociaż jak ktoś wcześniej zauważył - da się to zrobić dosyć zgrabnie), więc patrzymy na okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AB}\). Patrzymy na cztery styczne do niego: \(\displaystyle{ y=x+1}\), \(\displaystyle{ y=-x+2}\), \(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{5+\sqrt{2}}{2}}\). Wypisanie warunków z nierównościami widzimy, że okrąg ten nie przetnie się z parabolą nigdy. Łatwo stąd widać, że żaden punkt paraboli nie jest zawarty w kole o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) (bo jeden z dowolnych, wybranych przez siebie punktów paraboli nie leży wewnątrz tego koła), skąd wniosek, że kąt \(\displaystyle{ ACB}\) musi być ostry. Co prawda jest tu trochę dłubaniny, ale w końcu matematyka to nierzadko taka dłubanina.

Uważam mimo wszystko, że zadanie nie było przesadzone - w końcu wynik \(\displaystyle{ 100 \% }\) z matury rozszerzonej z matematyki jednak zobowiązuje. Problem był na pewno (elementarnie) do rozwiązania przez ambitniejszego maturzystę, który mierzyłby w okolice tej setki. Nie widzę więc specjalnie problemu w związku z tym zadaniem. Problem stanowią jedynie blefy zaproponowane jako "rozwiązania" tego zadania.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: Jan Kraszewski » 14 maja 2021, o 16:06

karolex123 pisze:
14 maja 2021, o 12:14
Uważam mimo wszystko, że zadanie nie było przesadzone - w końcu wynik \(\displaystyle{ 100 \% }\) z matury rozszerzonej z matematyki jednak zobowiązuje. Problem był na pewno (elementarnie) do rozwiązania przez ambitniejszego maturzystę, który mierzyłby w okolice tej setki.
W ogólności można się z Tobą zgodzić, ale problem polega też na tym, że można dać zadanie trudne, ale nie powinno być zadań niespodziewanych - to nie jest olimpiada, gdzie masz 5 godzin na 3 zadania i możesz tworzyć strategie rozwiązań. Tutaj masz trzy godziny na kilkanaście zadań i nawet jeśli te zadania nie są specjalnie wyrafinowane, to wymagają uważnego przeliczenia i zapisania, co zajmuje czas. Można zastanawiać się, czy to dobrze, czy nie, że matura tak właśnie wygląda, ale skoro już tak jest, że nie jest to egzamin sprawdzający kreatywność myślenia matematycznego, tylko raczej sprawdzający sprawność w wykorzystywaniu różnych technik, to nie należy jego uczestników zaskakiwać zadaniami, z którymi nie będą widzieli, co zrobić, zwłaszcza mając tak mało czasu na znalezienie jakiegoś pomysłu (innymi słowy - zawsze mogę dać studentom na egzaminie zadanie, którego prawie nikt nie będzie w stanie rozwiązać, tylko po co?).

Zobaczymy, jakie będą statystyki dotyczące tego zadania.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19428
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3284 razy

Re: Matura rozszerzona z matematyki 2021

Post autor: a4karo » 14 maja 2021, o 17:13

W 1972 podobne zadanie było na międzyszkolnym konkursie matematycznym.
Biorąc pod uwagę poziom ówczesnych matur, to zadanie oceniam jako wzięte z kosmosu

ODPOWIEDZ