Matura podstawowa z matematyki 2019

Przygotowanie do egzaminu dojrzałości. Zestawy zadań. Wyniki i przebieg rekrutacji na studia.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16995
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2855 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: a4karo » 7 maja 2019, o 21:34

Ponieważ
\(\displaystyle{ 2(3x^2-2xy+3y^2)+2(3z^2-2zt+3t^2)-(3(x+z)^2-2(x+z)(y+t)+\\+3(y+t)^2)-(3(x-z)^2-2(x-z)(y-t)+3(y-t)^2)=0}\)
wnioskujemy, że norna \(\displaystyle{ ||(a,b)||^2=3a^2-2ab+3b^2}\) spełnia warunek równoległoboku, czyli jest generowana przez iloczyn skalarny, zatem \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2\geq 0.}\)
Ostatnio zmieniony 8 maja 2019, o 00:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 511
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 96 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: MrCommando » 7 maja 2019, o 22:06

Dobra, to jak tak, to skoro mi się tak dzisiaj nudzi, to napiszę co jeszcze przyszło mi do głowy

Rozważmy formę kwadratową \(\displaystyle{ q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem \(\displaystyle{ q(x)=3x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\). Forma biegunowa \(\displaystyle{ f}\) stowarzyszona z \(\displaystyle{ q}\) dana będzie wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=4x_1y_1+4x_2y_2-x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1-y_1y_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}\) i \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2}\). Macierz \(\displaystyle{ \mathbf{X}}\) tej formy w bazie kanonicznej będzie wyglądała tak: \(\displaystyle{ \mathbf{X} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -1\\ -1 & 3 \end{array} \right]}\). Jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ w(\lambda)=\det(X-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=(\lambda-4)(\lambda-2)}\). Zatem wartościami własnymi danej formy są \(\displaystyle{ \lambda_1=2}\), \(\displaystyle{ \lambda_2=4}\). Skoro więc \(\displaystyle{ \lambda_i >0}\) dla \(\displaystyle{ i\in [2]}\), to na mocy kryterium wartości własnych forma kwadratowa \(\displaystyle{ q}\) jest dodatnio określona, zatem dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in\mathbb{R}}\) takich że \(\displaystyle{ a^2+b^2 \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 >0}\). Oczywiście gdy \(\displaystyle{ a=b=0}\) (gdy \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest wektorem zerowym) to wyjściowa nierówność stanie się równością. Zatem mamy to o co nam chodziło.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 279 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Tmkk » 7 maja 2019, o 22:35

Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^3}\)...

Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 13 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: VirtualUser » 7 maja 2019, o 23:36

tyle, że to już nie jest prawdziwe

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 511
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 96 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: MrCommando » 7 maja 2019, o 23:58

VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=2a^2+2b^2+a^2-ab+b^2=2a^2+2b^2+\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25372
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4224 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski » 8 maja 2019, o 00:20

MrCommando pisze:VirtualUser, jak najbardziej jest. Mamy \(\displaystyle{ 3a^2-ab+3b^2=...}\).
No chyba jednak nie...
Tmkk pisze:Ciekawe ile osób poległoby na tym zadaniu, gdyby zmienić wyrażenie na \(\displaystyle{ 3a^2 - ab + 3b^{\red 3}}\)...
JK

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 279 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Tmkk » 8 maja 2019, o 00:35

Tak, miało być \(\displaystyle{ b^2}\), nie trafiłem w cyferkę, którą chciałem napisać. Swoją drogą, to też byłoby 'ciekawe' zadanie: sprawdź, czy zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3a^2 -ab + 3b^3 \ge 0}\).

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 741
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Elayne » 8 maja 2019, o 02:53

28 inaczej:
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2(a-b)^2 + (a+b)^2 \ge 0 \ \ \text{Q.E.D.}}\)
Proste jest piękne.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7203
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2861 razy

Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: kerajs » 8 maja 2019, o 06:21

I)
\(\displaystyle{ 3a^2-2ab+3b^2 = 2a^2 + (a-b)^2+2b^2 \ge 0}\)

II)
\(\displaystyle{ W(a)=3a^2-2ab+3b^2\\ \Delta=4b^2-4 \cdot 9b^2=4 \cdot (-8b^2) \le 0}\)

III)
Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le b}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.4] \fill[blue!30!white] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6)--(0,6); \fill[blue!30!white] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0)--(4,9); \draw[red,very thick] (0,3)--(0,6)--(4,6)--(4,0)--(0,0)--(0,3)--(4,3); \draw[blue,very thick] (0,6)--(0,12)--(4,12)--(4,6); \draw[blue,very thick] (0,8)--(4,8); \draw[blue,very thick] (4,9)--(7,9)--(7,0)--(4,0); \draw[blue,very thick] (4,3)--(7,3); \draw[blue,very thick](7,6)--(4,6); \draw[blue] (0,4)--(4,4); \draw (2,0) node[below] {$b$}; \draw (5.5,-0.25) node[below] {$a$}; \end{tikzpicture}}\)

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 404
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana » 31 paź 2019, o 20:00

Dziękuję Elayne, wiedziałam, że to coś z wzorami skróconego mnożenia, a nie jakimiś globalnymi rzeczami. Globalne rzeczy to tylko na maturze rozszerzonej.

Muszę powiedzieć, że ten poziom matury mnie zaskoczył, bo z tego, co już miałam (2. klasa liceum, dopiero zaczynamy) to umiałam wszystko, poza zadaniem 15. A co do tych, których nie umiałam, to po prostu nie znam wzorów, ale wydają się łatwe.

Nie ma to jak zadanie z logarytmu, które nie wymaga myślenia, bo trzeba tylko wiedzieć, co to jest logarytm.
Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25372
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4224 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski » 1 lis 2019, o 00:35

Niepokonana pisze:
31 paź 2019, o 20:00
Btw, kto z Was umie rozwiązać zadanie 15.? Wszyscy?
Nie przyłożyłaś się... Przecież przed chwilą trenowałaś jednokładność.

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 404
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana » 1 lis 2019, o 09:32

Właśnie dlatego ja się do siebie nie przyznaję. A bo ten punkt \(\displaystyle{ K}\) to jest środek jednokładności co nie? Ale co robi jednokładność na maturze podstawowej? U mnie jest to oznaczone jak to temat rozszerzony.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25372
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4224 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Jan Kraszewski » 1 lis 2019, o 13:38

A z tą jednokładnością to tylko dlatego, że właśnie o tym ostatnio pisałaś.

Tu wystarczy tw. Talesa.

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 404
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Matura podstawowa z matematyki 2019

Post autor: Niepokonana » 1 lis 2019, o 14:25

A jak twierdzenie Talesa to wiem co to jest.
Zgadzam się z opinią, że matura podstawowa z języka polskiego powinna być na takim samym poziomie jak matura podstawowa z matematyki.

ODPOWIEDZ