[Teoria liczb] Nierówność z dzielnikami

[kubek1]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ d(n)}\) liczbę wszystkich naturalnych dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ d(ab) \geqslant d(a)+d(b)-1}\)

[Sylwek]

Było:

dzielniki liczby \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ a=a_{d(a)}>a_{d(a)-1}>...>a_2>a_1=1}\)
dzielniki liczby \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ b=b_{d(b)}>b_{d(b)-1}>...>b_2>b_1=1}\)
każdy dzielnik liczby \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ ab}\). Ponadto istnieje co najmniej \(\displaystyle{ d(b)-1}\) dzielników liczby \(\displaystyle{ ab}\) większych od \(\displaystyle{ a_{d(a)}}\):
\(\displaystyle{ b_2 \cdot a_{d(a)},b_3 \cdot a_{d(a)},...,b_{d(b)} \cdot a_{d(a)}}\)
ckd