Matematyka.pl

Wewnątrz czworościanu foremnego ABCD obrano dowolnie punkt P. Prosta łącząca ten punkt ze środkiem O kuli wpisanej w ten czworościan przebija płaszczyzny jego ścian BCD, CDA, DAB i ABC odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A^'}\), \(\displaystyle{ B^'}\), \(\displaystyle{ C^'}\), \(\displaystyle{ D^'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{A^{'}P}{A^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{B^{'} P}{B^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{C^{'} P}{C^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{D^{'} P}{D^{'} O}}\) \(\displaystyle{ =4}\).

Z tego co pamiętam, to idzie z samego twierdzenia Talesa (lub coś w stylu, że stosunek pewnych odcinków jest równy stosunkowi pewnych objętości - kiedyś na małej OM było - nie jest trudne, skoro ja stereometrię zrobiłem ). Jak dalej nie będziesz wiedział, to spróbuję sobie przypomnieć jak robiłem.

Jeśli możesz, napisz jak wypadałoby to zrobić, bo mnie ta stereo wykańcza...

1) Zauważ, że mamy: \(\displaystyle{ \frac{A'P}{A'O}=\frac{V_{BCDP}}{V_{BCDO}}}\) i 3 analogiczne równości.

2) Zauważ, że: \(\displaystyle{ V_{BCDO}=V_{ABCO}=V_{ABDO}=V_{ACDO}=\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{4}V}\)

3) Zauważ, że: \(\displaystyle{ V_{BCDP}+V_{ABCP}+V_{ABDP}+V_{ACDP}=V}\)

4) Podsumowując: \(\displaystyle{ L=\frac{V_{BCDP}+V_{ABCP}+V_{ABDP}+V_{ACDP}}{\frac{1}{4}V}=\frac{V}{\frac{1}{4}V}=4=P}\)