[Nierówności] Nierówności

[qwass]

1.
a,b,c długości boków trójkąta. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a}{b+c-a} \geq \sum_{cyc}\frac{b+c-a}{a}}\)

2.
n>=2
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n a_i =1}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i} q 1}\)

3.
x,y,z - rzeczywiste
\(\displaystyle{ |x| q |y+z|\\
|y| q |x+z|\\
|z| q |x+y|}\)
Wykaż, że x+y+z=0

[frej]

2. Skoro iloczyn jest taki ładny, to niech
\(\displaystyle{ a_i=\frac{x_i}{x_{i+1}} \\ x_{n+1}=x_1}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ i}\)

Niech \(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n} a_i}\)

Mamy zatem
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+a_i}= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{x_i}{x_{i+1}}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i+1}}{S}=1}\)

[ Dodano: 28 Grudnia 2008, 00:02 ]
1.
\(\displaystyle{ x=b+c-a \\ y=a+c-b \\ z=a+b-c}\)
Musimy udowodnić więc coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{y+z}{2x} \frac{2x}{y+z}}\)
Ale \(\displaystyle{ \sum\frac{y+z}{2x} =\sum\frac{y\frac{(x+z)}{2}}{xz} \sum \frac{y}{\sqrt{xz}} \sum \frac{2y}{x+z}}\)

[Psycho]

3.

\(\displaystyle{ x^{2} \geqslant y^{2} + 2yz + z^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2} \geqslant x^{2} + 2xz + z^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2} \geqslant y^{2} + 2xy + x^{2}}\)

\(\displaystyle{ 0 \geqslant x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2yz + 2xy + 2xz}\)
\(\displaystyle{ 0 \geqslant (x + y + z)^{2} x + y + z = 0}\)

c.k.d.

[Dumel]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{y+z}{2x} =\sum_{}^{} \frac{y\frac{(x+z)}{2}}{xz}}\)

tu Ci sie chyba troche literki poprzestawialy

po tym podstawieniu mozna zastosowac SH

[frej]

tu Ci sie chyba troche literki poprzestawialy

\(\displaystyle{ \sum \frac{y+z}{2x}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=y(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z})+x(\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z})+z(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})= \sum \frac{y\frac{x+z}{2}}{xz}}\)

[Dumel]

rzeczywiście, sorry za pisanie glupot