[Planimetria] Trójkąt równoboczny, kąt prosty

patry93 · Post autor: **patry93** » 27 gru 2008, o 19:03

Witam.

Punkty D i E dzielą boki AB i AC trójkąta równobocznego ABC w stosunkach \(\displaystyle{ \frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EA} = \frac{1}{2}}\). Proste CD i BE przecinają się w punkcie O. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle AOB = 90^{ \circ}}\).

"Oczywiście" \(\displaystyle{ \Delta DBC \equiv \Delta ABE \ , \ \Delta EBC \equiv \Delta ADC}\).
Mam też, że \(\displaystyle{ \angle DOB = 60^{ \circ}}\).
Pozostało więc wykazanie, że \(\displaystyle{ \angle AOD = 30^{ \circ}}\), lecz tutaj oczywiście zaczynają się dla mnie schody...

Tak "niestandardowo" prosiłbym o podpowiedź, nie gotowca

Z góry dziękuję.

Dumel · Post autor: **Dumel** » 27 gru 2008, o 19:37

teza zadania jest nieprawdziwa
podpowiedź:
CD i BE to środkowe, trójkąta. w trojkacie rownobocznym pokrywają się one z dwusiecznymi odpowiednich kątów

limes123 · Post autor: **limes123** » 27 gru 2008, o 19:58

Dumel, chyba za szybko czytales bo tam jest \(\displaystyle{ \frac{AD}{DB}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{AD}{AB}}\) i teza zachodzi. A zadanie jest bardzo proste - ty napisales ze DOB=60 a ja dopisze, ze CAB=60

patry93 · Post autor: **patry93** » 27 gru 2008, o 20:07

Dumel - no pospieszyłeś się
limes123 - zabij mnie, ale to, że kąt wewnętrzny przy wierzchołku trójkąta równobocznego ma miarę 60 stopni wiedziałem już od dawna, lecz nie mogę tego powiązać z kątem AOB....
Jestem tępy i ślepy...

frej · Post autor: **frej** » 27 gru 2008, o 20:10

Znasz tw. Cevy ?

limes123 · Post autor: **limes123** » 27 gru 2008, o 20:10

No dobra to mega wskazowka... Co mozemy powiedziec o czworokacie ADOE...?;p

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 20:13 ]

frej pisze:Znasz tw. Cevy ?

Ale po co?;p Zreszta pozniej trzeba jeszcze dolaczyc Van Aubela i rozwiazanie robi sie brzyydkie...

Dumel · Post autor: **Dumel** » 27 gru 2008, o 20:15

nie probowalem tego, a jak ktoś chce sie wyćwiczyć w chamskich metodach, to polecam zrobić to z pomocą iloczynu skalarnego

frej · Post autor: **frej** » 27 gru 2008, o 20:16

limes123, no dobra, rozwiązanie robi się brzydkie, ale zawsze to jakieś alternatywne rozwiązanie.

anna_ · Post autor: **anna_** » 27 gru 2008, o 20:18

To ja jak zwykle rysunek i chyba już wszystko jasne:

patry93 · Post autor: **patry93** » 27 gru 2008, o 20:28

frej pisze:Znasz tw. Cevy ?

Niet i nawet nie chcę jak na razie tego poznawać, bo trenuję robienie zadań jak najbardziej elementarnie

limes123 pisze:Co mozemy powiedziec o czworokacie ADOE

Bez wątpienia można go wpisać w okrąg Natomiast ten mój nieszczęsny brakujący kąt jest wpisany i oparty na łuku AD.
Ech, dobij mnie i napisz, że do rozwiązania już blisko... :/

anna_ · Post autor: **anna_** » 27 gru 2008, o 20:30

A trójkąt ADE?
Znasz jego kąty?

patry93 · Post autor: **patry93** » 27 gru 2008, o 20:30

nmn - jednak nadal dla mnie nie jest jasne...
Wydaje mi się, że kluczowe tutaj jest to, iż środek tego okręgu leży na boku AC, ale nie robiąc tego w programie, tylko na kartce tego raczej się nie zauważy, a nawet jeśli - to trzeba to udowodnić chyba?

anna_ · Post autor: **anna_** » 27 gru 2008, o 20:33

Ale AD to połowa AE

binaj · Post autor: **binaj** » 27 gru 2008, o 20:33

wydaje mi się, ze to zadanie może szybko pójść analitycznie, ale nie próbowałem

patry93 · Post autor: **patry93** » 27 gru 2008, o 20:36

Ale AD to połowa AE

O kurczątko! :O
No tak, "słynny" trójkąt 30,60,90.... Czyli kąty AED=AOD=30 jako oparte na łuku AD i już mamy tezę? :O
binaj - nie, "anal" to złooooo