Matematyka.pl

Danych jest siedem odcinków o długościach należących do przedziału \(\displaystyle{ }\). Wykaż, że wśród nich są takie trzy, które są bokami trójkąta.

Wiadomo nierówność trójkąta i ZSD. Nie wiem tylko jak to ładnie zapisać. Ma ktoś jakiś pomysł?

\(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_7}\)

nie wprost, wówczas każda z tych nierówności jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ a_3 \ge a_2+a_1 \\ a_4 \ge a_3+a_2 \\ a_5 \ge a_4 + a_3 \\ a_6 \ge a_5+a_4 \\ a_7 \ge a_6+a_5}\)

po dodaniu stronami i redukcji wyrazów podobnych:
\(\displaystyle{ a_7 \ge a_5+a_4+a_3+2a_2+a_1 \ge (a_4+a_3)+(a_3+a_2)+(a_2+a_1)+2a_2+a_1 \\ \ge a_4+2a_3+4a_2+2a_1 \ge (a_3+a_2)+2(a_2+a_1)+4a_2+2a_1 =a_3 + 7a_2 + 4a_1 \ge 8a_2+5a_1 \ge 13}\)

sprzeczność

ogólnie tą górną granicę można podwyższyć do 13 - w tym ciągu nierówności jest pewne podobieństwo z ciągiem Fibonacciego, jak chcesz, możesz to przemyśleć

Dzięki.