[Równania] Układ równań w liczbach całkowitych

[qwass]

Rozwiazać w liczbach całkowitych układ równań:
\(\displaystyle{ a+b+c=24\\
a^2+b^2+c^2=526\\
abc=440}\)

[chris139]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)
Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)
Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu

[max]

Szukamy pierwiastków całkowitych, więc nie ma sensu katować się Cardanem, lepiej posprawdzać dzielniki \(\displaystyle{ 440}\) (patrz tw o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych).

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2=576\\
a^2+b^2+c^2=526}\)
Odejmijmy jedno od drugiego i podzielmy przez 2 a dostaniemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=24\\
ab+bc+ac=25\\
abc=440 \end{cases}}\)
Teraz stwórzmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-24x^2+25x-440}\)
Teraz należy znaleźc tylko jego pierwiastki
Nie jest to raczej najsprytniejsze rozwiązanie ponieważ znalezienie pierwiastków tego wielomianu wymaga użycia wzorów Cardano (przynajmniej tak mi się wydaje ;D) ale na pewno jest alternatywą jeśli się nie posiada żadnego sprytniejszego pomysłu

Albo wystarczy dokładniej przeczytać zadanie...
Metoda wielomianu pomocniczego jest standardowa i tu się przydaje, należy jeszcze pomyśleć jakie warunki musi spełniać potencjalna liczba całkowita aby być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych

EDIT: Się spóźniłem...