Matematyka.pl

Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) określić liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y}=n}\) w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x, y}\).


Zadanie pochodzi z Koła dla Olimpijczyków UMCS i mam nadzieję, że nie pojawiło się jeszcze na forum.

można udowodnić, ze zarówno x jak i y są kwadraami liczb całkowitych (czyli rozwiazań jest dokładnie n)
Po przekształceniu
\(\displaystyle{ x = n^2 - 2\cdot n \sqrt{y} + y}\)
I to juz dowodzi temu że y musi być kwadratem l. naturalnej (podobnie się robi dla x)
jeśli \(\displaystyle{ x \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{x} \mathbb{Q}}\) to musi być \(\displaystyle{ x = k^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\) gdyż jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{x} = \frac{p}{q}}\) to \(\displaystyle{ x = \frac{p^2}{q^2}}\), bez straty ogólności możemy założyć, że NWD(p,q) = 1, ale wtedy \(\displaystyle{ q^2 \ | \ p^2}\) czyli \(\displaystyle{ q \ | \ p}\) co jest możliwe tylko gdy q = 1 zatem \(\displaystyle{ x = p^2}\) gdzie \(\displaystyle{ p \mathbb{Z}}\)

To zadanie z 35 OM - II - 1: