Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\) będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Wykaż \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]

Jest OK, czas na Ciebie.

Mam nadzieję, że jeszcze nie było:
niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR^+, \ a\le b\le c\le d}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{c+d}}+ \sqrt{ \frac{2d}{d+a} } \le 4}\).

Dobrze (chyba tylko się machnąłeś w przepisywaniu wyrazu wolnego wielomianu, do nieujemności którego sprowadza się wykazanie niedodatniości pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\), ale to szczegół… albo to ja nie umiem liczyć; lemat jest prawdziwy tak czy siak), wrzucaj nową nierówność.

W podobnym klimacie: dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR_+}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=9}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq5\sqrt{\frac{2}{7}}.}\)

Panie, a idź pan (musiałem to napisać dla swojego komfortu).

Powiem tylko, że to nie była nierówność na "rozgrzewkę OM" tylko na coś większego kalibru. Gdzie nie ma 3 darmowych zadań pod rząd jednego dnia. -- 22 sie 2019, o 14:25 --

A teraz problem w stylu 1.dnia 70.OM II etap. Na pewno lepsze niż ta geometria z pierwszego dnia.
\(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R}_+\wedge abc=1\implies a+b+c\ge \sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{a+b}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}}\right)}\)

Tamta poprzednia to nie mój poziom zupełnie, pewnie więcej niż 20 godzin łącznie nad nią przesiedziałem. Dla mnie w sam raz na rozgrzewkę do próby samobójczej. ( ͡° ͜ʖ ͡°)
A tamtej geometrii nie zrobiłem. xD Jest jaki sposób, żeby się nauczyć planimetrii (stereometrii to nawet nie chcę), czy jak ktoś jest debilem, to pozostanie?

Ładne rozwiązanie całkiem, nie próbowałem tą drogą. Możesz wrzucać nową. Ciekawe jest, że z symetrycznej nierówności dostałeś cykliczną niesymetryczną. Ja sugeruję to zrobić następująco Bardzo podobał mi się pomysł nierówności funkcyjnej jako pierwsze na 69 OM. Dla doświadczonych proste, dla nowicjuszy barykada.
Słuchaj, ja pierwsze próbowałem rozwiązać przez 3 godziny a z geo jestem na dobrym poziomie. Zamiast wykazywać równość łuków (bo to odpowiedniki kątów), to ja cięciwy liczyłem przez 3 godziny. Około 12:15 doznałem prawie ataku paniki pierwszego dnia, bo w 69. byłem w finale... Nigdy nie przeżyłem takiego paraliżu. Uwierz mi, to nie literacki opis. Normalnie czułem się jak przed zawałem - wysokie ciśnienie, czuję własny puls w głowie i gorąco aż się rozpływam. Mimo to 660660. Dawać jeden punkt. Należy mi się za ciężką pracę, nie biwakowałem od finału 69. Codziennie trzepałem te zadania. A zapomniałem... Tylko w Polszy nie ma czegoś jak 1 punkt... (na IMO jest, w USA jest). Na marginesie: czwarte z drugiego dnia 70. edycji było na TST w Rumunii ok. 2005 (chodzi mi o fakt, że znane zadanie, ale jako tako byłbym jego zwolennikiem). Jakby co dla mnie to zadanie było nowe, ale na innym forum doczytałem, że się powieliło.
I czy to jest sprawiedliwe? Spadłem z wysokiego konia.

Płynna skala z IMO moim zdaniem (nie żebym się znał, daleko mi do tego) ma dużo zalet w porównaniu z polską (np. różnica między 2 a 5 – w sytuacji granicznej między OM-ową dwójką a piątką można dostać 2/6 na OM i 4/7 na IMO, czyli odpowiednio jakieś 33% i jakieś 57% punktów za zadanie… przypomina mi się też kazus z drugiego etapu LXI, gdzie niektórzy doszli do nietrywialnych wniosków w zadaniu z równaniem funkcyjnym i dostali zero), no ale tradycja często okazuje się silniejsza w takich sprawach (nie mówię, że to dobrze, ani zresztą źle).
W sumie dziwnie wyszło, że byłeś finalistą przy trudniejszym drugim etapie, a przy łatwiejszym nie, no ale przecież nie przepadły te umiejętności i rozwój, jeden słabszy dzień (bo tak należy traktować niezrobienie wszystkiego w 1. dniu LXX przez kogoś, kto już był w finale) tego nie przekreśla.

Nowe zadanie:
w rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots x_n}\) (\(\displaystyle{ n>3}\)) spełniających warunek \(\displaystyle{ x_1 x_2\ldots x_n=1}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1}\)

Przyjmuję \(\displaystyle{ x_{1}=x_{n+1}}\)
Z nierówności między średnimi mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}}{n}\geq \sqrt[n]{(x_{1}x_{2}...x_{n})^{2}}=1 \\
\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\geq n\\
\sum_{i=1}^{n}x_{i} \geq n\cdot\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=n}\).
Teraz bierzemy nierówność między średnią arytmetyczną oraz harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}}}{n} \geq \frac{n}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\\
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}} \geq \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n} = \frac{n}{3}>1}\)

Gdyby się okazało że jest dobrze to nowe zadanie proponuje takie: \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} \wedge x^{2}+y^{2}\leq2 \Rightarrow xy+3\geq2(x+y).}\)

Niestety nierówność
$$ \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n}$$
jest nieprawdziwa, z szacowań, które napisałeś, wynika nierówność z przeciwnym zwrotem.