[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 10 lip 2019, o 16:00

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\) będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Wykaż \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]
Ostatnio zmieniony 10 lip 2019, o 16:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 lip 2019, o 16:49

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 10 lip 2019, o 16:56

Jest OK, czas na Ciebie.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 lip 2019, o 17:03

Mam nadzieję, że jeszcze nie było:
niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR^+, \ a\le b\le c\le d}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt{\frac{2b}{b+c}} + \sqrt{\frac{2c}{c+d}}+ \sqrt{ \frac{2d}{d+a} } \le 4}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 19 lip 2019, o 13:00

wskazówka:    

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 19 lip 2019, o 13:01

rozwiązałem przed wskazówką, jeszcze nie czytałem:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 19 lip 2019, o 13:32

Dobrze (chyba tylko się machnąłeś w przepisywaniu wyrazu wolnego wielomianu, do nieujemności którego sprowadza się wykazanie niedodatniości pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\), ale to szczegół… albo to ja nie umiem liczyć; lemat jest prawdziwy tak czy siak), wrzucaj nową nierówność.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 19 lip 2019, o 19:30

W podobnym klimacie: dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR_+}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=9}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq5\sqrt{\frac{2}{7}}.}\)
Ostatnio zmieniony 19 lip 2019, o 23:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 sie 2019, o 12:24

Panie, a idź pan (musiałem to napisać dla swojego komfortu).
bzdury:    

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 22 sie 2019, o 14:21

Powiem tylko, że to nie była nierówność na "rozgrzewkę OM" tylko na coś większego kalibru. Gdzie nie ma 3 darmowych zadań pod rząd jednego dnia.
Ukryta treść:    
-- 22 sie 2019, o 14:25 --

A teraz problem w stylu 1.dnia 70.OM II etap. Na pewno lepsze niż ta geometria z pierwszego dnia.
\(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R}_+\wedge abc=1\implies a+b+c\ge \sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{a+b}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}}\right)}\)
Ostatnio zmieniony 22 sie 2019, o 14:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 sie 2019, o 15:25

Tamta poprzednia to nie mój poziom zupełnie, pewnie więcej niż 20 godzin łącznie nad nią przesiedziałem. Dla mnie w sam raz na rozgrzewkę do próby samobójczej. ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Ukryta treść:    
A tamtej geometrii nie zrobiłem. xD Jest jaki sposób, żeby się nauczyć planimetrii (stereometrii to nawet nie chcę), czy jak ktoś jest debilem, to pozostanie?

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: WolfusA » 22 sie 2019, o 22:25

Ładne rozwiązanie całkiem, nie próbowałem tą drogą. Możesz wrzucać nową. Ciekawe jest, że z symetrycznej nierówności dostałeś cykliczną niesymetryczną. Ja sugeruję to zrobić następująco
Ukryta treść:    
Bardzo podobał mi się pomysł nierówności funkcyjnej jako pierwsze na 69 OM. Dla doświadczonych proste, dla nowicjuszy barykada.
Słuchaj, ja pierwsze próbowałem rozwiązać przez 3 godziny a z geo jestem na dobrym poziomie. Zamiast wykazywać równość łuków (bo to odpowiedniki kątów), to ja cięciwy liczyłem przez 3 godziny. Około 12:15 doznałem prawie ataku paniki pierwszego dnia, bo w 69. byłem w finale... Nigdy nie przeżyłem takiego paraliżu. Uwierz mi, to nie literacki opis. Normalnie czułem się jak przed zawałem - wysokie ciśnienie, czuję własny puls w głowie i gorąco aż się rozpływam. Mimo to 660660. Dawać jeden punkt. Należy mi się za ciężką pracę, nie biwakowałem od finału 69. Codziennie trzepałem te zadania. A zapomniałem... Tylko w Polszy nie ma czegoś jak 1 punkt... (na IMO jest, w USA jest). Na marginesie: czwarte z drugiego dnia 70. edycji było na TST w Rumunii ok. 2005 (chodzi mi o fakt, że znane zadanie, ale jako tako byłbym jego zwolennikiem). Jakby co dla mnie to zadanie było nowe, ale na innym forum doczytałem, że się powieliło.
I czy to jest sprawiedliwe? Spadłem z wysokiego konia.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 23 sie 2019, o 00:00

Płynna skala z IMO moim zdaniem (nie żebym się znał, daleko mi do tego) ma dużo zalet w porównaniu z polską (np. różnica między 2 a 5 – w sytuacji granicznej między OM-ową dwójką a piątką można dostać 2/6 na OM i 4/7 na IMO, czyli odpowiednio jakieś 33% i jakieś 57% punktów za zadanie… przypomina mi się też kazus z drugiego etapu LXI, gdzie niektórzy doszli do nietrywialnych wniosków w zadaniu z równaniem funkcyjnym i dostali zero), no ale tradycja często okazuje się silniejsza w takich sprawach (nie mówię, że to dobrze, ani zresztą źle).
W sumie dziwnie wyszło, że byłeś finalistą przy trudniejszym drugim etapie, a przy łatwiejszym nie, no ale przecież nie przepadły te umiejętności i rozwój, jeden słabszy dzień (bo tak należy traktować niezrobienie wszystkiego w 1. dniu LXX przez kogoś, kto już był w finale) tego nie przekreśla.

Nowe zadanie:
w rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots x_n}\) (\(\displaystyle{ n>3}\)) spełniających warunek \(\displaystyle{ x_1 x_2\ldots x_n=1}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2} +\frac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\ldots+\frac{1}{1+x_n+x_n x_1}>1}\)

albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 8 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: albanczyk123456 » 19 wrz 2019, o 21:00

Przyjmuję \(\displaystyle{ x_{1}=x_{n+1}}\)
Z nierówności między średnimi mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}}{n}\geq \sqrt[n]{(x_{1}x_{2}...x_{n})^{2}}=1 \\
\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\geq n\\
\sum_{i=1}^{n}x_{i} \geq n\cdot\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=n}\)
.
Teraz bierzemy nierówność między średnią arytmetyczną oraz harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}}}{n} \geq \frac{n}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\\
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}+x_{i}x_{i+1}} \geq \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n} = \frac{n}{3}>1}\)


Gdyby się okazało że jest dobrze to nowe zadanie proponuje takie: \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} \wedge x^{2}+y^{2}\leq2 \Rightarrow xy+3\geq2(x+y).}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 19 wrz 2019, o 21:36

Niestety nierówność
$$ \frac{n^{2}}{n+\sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \geq \frac{n^{2}}{n+n+n}$$
jest nieprawdziwa, z szacowań, które napisałeś, wynika nierówność z przeciwnym zwrotem.

ODPOWIEDZ