Matematyka.pl

Marcinek665 pisze:Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pozytywne i realne oraz spełniają \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}\). Udowodnić, że zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{a}{a^{3}+bc}+\frac{b}{b^{3}+ca}+\frac{c}{c^{3}+ab}>3}\).

nowe, tym razem łatwe: dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) sumują się do jedności, wykazać że wtedy \(\displaystyle{ 10(a^3+b^3+c^3) \ge 1 + 9(a^5+b^5+c^5)}\)

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=0 \Rightarrow \left((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right)(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^3}\)

Zanim coś znajdę do wrzucenia, proszę o sprawdzenie, bo mam wrażenie, że to wszystko to jeden wielki bełkot.

Jest spoko, daj następną

Ponewor, już któryś raz wrzucasz rozwiązanie, nie dając nowej nierówności. Może lepiej wcale nie pisz, skoro masz blokować łańcuszek?

\(\displaystyle{ x,y,z>-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2.}\)

Marcinek to już było kiedyś


edit: Zdawało mi się, że to tu było gdzieś tak z 6-7 mies temu, ale nie mogę znaleźć... na wszelki wypadek rozwiązanie daję: Nowe:\(\displaystyle{ a,b,c \ge 0 \wedge ab+bc+ca = 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+2bc+1}+\frac{1}{2b+2ca+1}+\frac{1}{2c+2ab+1}\ge 1}\)
pozdrawiam

Coś łatwiejszego, żeby nie bloczyło.
Wyznaczyć najmniejszą wartość sumy:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{(ay + bz)(az + by)} + \frac{ y^{2} }{(ax + bz)(az + bx)} + \frac{ z^{2} }{(ax + by)(ay + bx)}}\)
gdzie a, b są danymi, x, y, z są dowolnymi liczbami dodatnimi.

chomikchomik pisze:Coś łatwiejszego, żeby nie bloczyło.
Wyznaczyć najmniejszą wartość sumy:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{(ay + bz)(az + by)} + \frac{ y^{2} }{(ax + bz)(az + bx)} + \frac{ z^{2} }{(ax + by)(ay + bx)}}\)
gdzie a, b są danymi, x, y, z są dowolnymi liczbami dodatnimi.

jak już wrzuciłeś swoje, to OK, więc teraz obowiązuje zadanie chomikchomik ;p Ale na przyszłość proponuję postępować wg zasad:
1. Osoba, która rozwiąże poprzednie zadanie wrzuca swoje
2. Jeśli zadanie na kolejce nie jest rozwiązane to:
a)poproś osobę której zadanie jest na kolejce o zmianę zadania na łatwiejsze
b)jeśli chcesz wrzucić swoje zadanie to poproś o zgodę osobę której zadanie jest na kolejce lub ewentualnie innych forumowiczów jeśli dana osoba nie odpowiada( do 1-2 dni?)
3. Jeśli chcesz wrzucić nowe zadanie bez kolejki to jeśli to nie jest super-ważny/-ciekawy problem, który wymaga rozwiązania "na już" to idź do punktu 2b)

Nie chodzi o to, żeby blokować łańcuszek bo to bez sensu, ale o to żeby nie zostawiać jakichś zadań nierozwiązanych później,

pozdrawiam

chciałem sobie poćwiczyć latexa, bo to mój pierwszy raz. wiem, jak działają łańcuszki, ale to jest banał, więc nie powinien bloczyć. można przecież robić dwa symultanicznie.

-- 26 paź 2012, o 18:17 --

poza tym może kiedyś łaskawie rozwiążę tą nierówność i będzie git.

-- 7 lis 2012, o 15:50 --

podpowiedź

To żeby rozwiązać problem zrobimy tak: Oto rozwiązanie nierówności chomikchomika. Zadanie pochodzi z niebieskiego Pawłowskiego, z rozdziału 7. - Zadania różne, ale do tego rozdziału rozwiązań nie ma. Aktualnie obowiązującą nierównością jest nierówność cyberciqa:

cyberciq pisze: Nowe:\(\displaystyle{ a,b,c \ge 0 \wedge ab+bc+ca = 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+2bc+1}+\frac{1}{2b+2ca+1}+\frac{1}{2c+2ab+1}\ge 1}\)
pozdrawiam

syfiaste rozwiązanie mojej nierówności!!! >:( pewnie dobrze (wynik git), ale tu masz prawie firmówkę (chomiczówkę):

Dalej to już po prostu nierówność
Nesbitta - ciągi jednomonotoniczne to jeden z dowodów.

cyberciq można prosić o hinta?

Dobra nie idzie ta moja nierówność długo. Teraz nie wrzucam rozwiązania bo czasu nie mam za bardzo pisać, a to które znam jest troszkę mało pomysłowe, myślałem, że może ktoś pokaże jakieś ładne. Wrzucajcie sobie co chcecie.