[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej » 3 sie 2009, o 21:26

Dumel pisze:dalej można łatwo dokończyć tak jak sie dowodzi nierówność Schura
Oczywiście

Żeby nie było jakiś problemów wstawię dowód
Ukryta treść:    
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem przy wymnażaniu
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel » 4 sie 2009, o 22:44

Piotr Rutkowski pisze:[...]Na kółku bezowocnie zmarnowałem 1,5 h czasu i nie zrobiłem z niej NIC.
Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R}_{+}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b)^{2}}\geq \frac{1}{\sum_{cyc}ab}}\)

Jak dla mnie jest ona poza moim zasięgiem na ten moment.
Btw. o jej trudności swiadczy też fakt, że ma bardzo podobną strukturę do nierówności Iran 96.
można wymnożyć na chama i wyjdzie, czytalem wypowiedzi wielu osob ktore twierdzily ze to za mocna nierownosc aby dalo sie ja ladnie rozwiazac i sam zaczynalem w to wierzyc dopoki nie natrafilem na to znakomite rozwiazanie: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=218503 (7. post)

tu jest długa dyskusja o ww nierówności: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=141336&start=60. długo długo nic ciekawego ale na 4. stronie (64. post) Vasc o sobie przypomniał

edit: nie kminie po co któryś z szanownych panów moderatorów (podejrzewany *** Rogal *** ---wanted dead or alive--- ) zmienił tytuł tego posta (i od razu przeskoczyła nazwa tematu). jak widać nie dałem za wygraną

binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: binaj » 5 sie 2009, o 20:29

Dumel pisze: \(\displaystyle{ k \ge l>0}\)
\(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_i>0}\)
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} a_i=1}\)
udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i^k \ge \sum_{i=1}^{n}a_i^l}\)
jeśli to jest ta nierówność ze Zwardonia do zjadłeś tak literkę \(\displaystyle{ l}\) w wykładniku drugiej sumy
oto moje rozwiązanie:
zatem jeśli \(\displaystyle{ k=l}\) to nierówność jest oczywiście prawdziwa zatem niech k=l+e, gdzie e jest dodatnie, rozważmy ciągi: \(\displaystyle{ (a_1^l,a_2^l,...,a_n^l)}\), \(\displaystyle{ (a_1^e,a_2^e,...,a_n^e)}\)
są one jednakowo monotoniczne, zatem na mocy nierówności Czebyszewa i AM-GM:
\(\displaystyle{ n \sum_{i=1}^{n} a_i^k=n \sum_{i=1}^{n} a_i^{l+e} \ge (\sum_{i=1}^{n} a_i^e)(\sum_{i=1}^{n} a_i^l) \ge n(\prod_{i=1}^{n})\sqrt[n]{a_i}(\sum_{i=1}^{n} a_i^l)=n\sum_{i=1}^{n} a_i^l}\)
dzieląc przez n otrzymujemy nierówność równoważną tezie zadania
Ostatnio zmieniony 7 maja 2021, o 17:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel » 5 sie 2009, o 20:42

ładnie. moje rozwiązanie opierało sie na nierowności Holdera i jest prawie identyczne z rozwiazaniem freja dla tej złej wersji (poprzednio napisałem że identyczne ale nie widzialem tej literowki) (bardzo łatwo je poprawić)

-- 5 sierpnia 2009, 20:45 --

a nierówność jak słusznie zauważyłeś wzięta ze Zwardonia-- 5 sierpnia 2009, 21:40 --let \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \frac {1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \frac {1}{{{b^2} + {c^2} + 1}} + \frac {1}{{{c^2} + {a^2} + 1}} \ge 1}\).
udowodnić, że \(\displaystyle{ ab + bc + ca \le 3}\)

frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej » 5 sie 2009, o 23:14

Załóżmy przez sprzeczność, że \(\displaystyle{ \sum ab >3}\). Wtedy z Cauchy'ego Schwarza
\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{a^2+b^2+1} \le \frac{\sum a^2 +6}{(\sum a)^2} <1}\)

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel » 6 sie 2009, o 09:19

ale skomplikowane rozwiązanie tu jest alternatywne: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=293412

frej

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: frej » 6 sie 2009, o 10:09

Chyba nie takie skomplikowane Używając kontrapozycji tylko CS wystarczy, bo \(\displaystyle{ (a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\ge (a+b+c)^2}\)

To teraz może wrzucę nierówność, ale trygonometryczną

Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ 8 sin^2 \frac{ \sphericalangle A}{2} sin^2 \frac{ \sphericalangle B}{2} sin^2 \frac{ \sphericalangle C}{2} \ge cos \sphericalangle A cos \sphericalangle B cos \sphericalangle C}\)

Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 65 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: alchemik » 6 sie 2009, o 14:15

I ja zamieszczę jedną nierówność:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ a^{5}-a^{3}+a=2}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{6}>3}\).

Ta nierówność pochodzi z pewnej książki i jest tam rozwiązanie, zatem proszę nie piszcie wzorcówki.

Teraz dobrze.
Ostatnio zmieniony 6 sie 2009, o 14:38 przez alchemik, łącznie zmieniany 1 raz.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel » 6 sie 2009, o 14:33

nadspodzewanie szybko poszło ale błędu nie widze więc:
łatwo nie wprost udowodnić że a nie może być ujemne, więc \(\displaystyle{ a \ge 0}\)
teraz załóżmy wbrew tezie, że \(\displaystyle{ 2 \ge a^6}\)
mamy nierówność
\(\displaystyle{ a^5+a^2 \ge a^6+a^3}\)
czyli
\(\displaystyle{ 1 \ge a}\)
a=0 nie pasuje
więc
\(\displaystyle{ 2=a^5-a^3+a^2<a^5+a^2<2}\) sprzeczność

Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 65 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: alchemik » 6 sie 2009, o 14:38

Jaaaa, przepraszam Dumel, błąd źle przepisałem ;], ciamajda ze mnie.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Dumel » 6 sie 2009, o 15:08

no to podobnie:
1. dowodzimy nie wprost że a jest nieujemna
2. potem tak samo jak wcześniej że a>1
3. liczymy pochodną funckji f(x)=x^5-x^3+x dla a>1 mamy funkcje rosnącą i sprawdzamy ręcznie że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{3}}\) to co nie co za mało do spełnienia tej równości

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Sylwek » 6 sie 2009, o 19:04

Wreszcie coś nadającego się na OM, chociaż ...

Oczywiście a nie jest zerem, dalej:
\(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1)(a^2+1)=2(a^2+1) \\a(a^6+1)=2(a^2+1) \\ a^6=2(a+\frac{1}{a})-1}\)

Gdyby a było ujemne, to prawa strona by była nie większa niż -5 (AM-GM), a lewa jest nieujemna. Zatem a jest dodatnie. Stąd już prosto:
\(\displaystyle{ a^6=2(a+\frac{1}{a})-1 \ge (AM \ge GM) \ge 2 \cdot 2 - 1 = 3}\)

Równość w ostatniej nierówności wtw gdy a=1, ale dla tej wartości nie mamy równości, zatem nierówność jest ostra.

Phizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lut 2008, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 2 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Phizyk » 6 sie 2009, o 21:03

Zadanie typowo rozgrzewkowe
\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) - kąty trójkąta ostrokątnego. Wykazać nierówność:
\(\displaystyle{ ({\cos{\alpha}})^{2\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma-\alpha}{2}}}\cdot{({\cos{\beta}})^{2\sin{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}}}\cdot{({\cos{\gamma}})^{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta-\gamma}{2}}}}\geqslant{1}}\)

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Swistak » 6 sie 2009, o 21:16

Sylwek pisze:Wreszcie coś nadającego się na OM, chociaż ...
Dawałem Ci to kiedyś na gg, ale wtedy byłeś w stanie "po imprezie", więc pewnie dlatego nie pamiętasz xD. Ale i tak to wtedy rozwaliłeś xP.
Btw zadanie nr 1.5 Z Kącika Olimpijskiego - Algebra .

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Sylwek » 6 sie 2009, o 21:35

Wydawało mi się, że podesłałeś mi nieco inne, ale rzeczywiście to było to samo

A propos, bo coś się nie udała edycja:
Sylwek pisze:Wreszcie coś nadającego się na OM, chociaż ...
Powinno być: chociaż możliwość rozwiązania siłowego pewnie spowodowałaby, że takie coś nie znalazłoby się na olimpiadzie

2 posty powyżej - pewnie zlogarytmowanie i Jensen, nie mam kartki to nie spróbuję

ODPOWIEDZ