To zadanie to wariacja Hunga (podobno, bo nie mogę jej odnaleźć we wskazywanym źródle, czyli
Secrets in Inequalities) na temat słynnej nierówności J. Garfunkela, o podobnym (moim zdaniem) stopniu trudności. Oryginalne zadanie pojawiło się w
w numerze 15(9) z 1989 roku jako problem z gwiazdką, czyli taki, którego rozwiązanie nie jest znane autorowi. Po ponad roku od wydrukowania zadania redakcja była w posiadaniu zaledwie dwóch rozwiązań, z których jedno opublikowano w numerze 17(1) z 1991 roku (drugie pochodziło od dr. M. Kuczmy).
Więcej można się dowiedzieć np. przeglądając lub też, w miarę możliwości lingwistycznych/technicznych, czytając pedeefa podlinkowanego pod .
To, że istnieje genialnie proste rozwiązanie za pomocą C-S, nie zmienia faktu, że ta nierówność jest bardzo trudna, nawet jak na obecne standardy zadań konkursowych. Wiadomo, że Iran'96 nie będzie stanowił większego problemu dla kogoś, kto potrafi użyć pqr, a na nierówność Vasca też jest prosty sposób, ale dla kogoś nieobeznanego z tzw. folklorem to wciąż będą trudne nierówności.
Poniżej wspomniane rozwiązanie, całkowicie nie moje, które wrzucam, by Tmkk zamieścił inny problem.
$$\left(\sum\frac{a}{\sqrt{a+2b}}\right)^2\le\sum\frac{a^2}{(a+2b)(c+2a)}\cdot\sum (c+2a)=\frac{3\sum a^2(b+2c)}{\prod (a+2b)}<\frac{3}{2}$$ Ostatnia nierówność redukuje się do
\(\displaystyle{ 27abc>0}\), co jest prawdą dla dodatnich
\(\displaystyle{ a,b,c}\).
Moje próby znalezienia innych współczynników, tak by
\(\displaystyle{ \sum\frac{a^2}{(a+2b)(ma+nb+pc)}\cdot\sum (ma+nb+pc)<\frac{3}{2}}\) albo też
\(\displaystyle{ \sum\frac{a}{(a+2b)(ma+nb+pc)}\cdot\sum a(ma+nb+pc)<\frac{3}{2}}\) zadziałała, zakończyły się, niestety, spektakularną porażką.
PS @Tmkk - jeżeli chcesz poczytać o pqr, to możesz przejrzeć CRUX 43(5) oraz 43(6) z 2017 roku, a także pokopać w bibliografii do tych artykułów. Wszystko powinno być dostępne w sieci.