[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 maja 2020, o 18:52

Ukryta treść:    
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 10 maja 2020, o 19:12

Szybciej zrobiłeś, niż ja napisałem to zadanie. Dawaj dalej.

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 maja 2020, o 19:23

Niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ 21xy+2yz+8zx\le 12}\). Proszę znaleźć najmniejszą wartość \(\displaystyle{ f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}}\)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 14 maja 2020, o 14:38

Jeśli to rozwiązanie jest poprawne, to i tak chętnie zobaczę jakieś prostsze.

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 maja 2020, o 17:03

Nie mam nic lepszego od Twojego, podobnie robiłem, tylko zwijałem w pierwszym przejściu do sumy kwadratów (ale w sumie na jedno wychodzi), co było dość żmudne. Możesz wstawiać następne zadanie.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 14 maja 2020, o 17:16

Dla dodatnich rzeczywistych:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\le\sqrt{3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}}\)

Pewnie proste, ale nie chciało mi wyjść.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 maja 2020, o 20:48

Wpisywałam to przez dwa wieczory, więc wrzucę choćby dlatego. Może kogoś zainteresuje, jak można znaleźć współczynniki, które zadziałają w rozwiązaniu.
Poprzednie:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 15 maja 2020, o 00:24

Aktualne:    

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1328
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 15 maja 2020, o 00:44

Super, dziękuje : ) Możesz dalej.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 15 maja 2020, o 10:50

Liczby rzeczywiste nieujemne \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}=2}\)
Proszę wykazać, że \(\displaystyle{ ab+bc+ca\le \frac{3}{2}}\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 15 maja 2020, o 22:03

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 15 maja 2020, o 22:54

Oczywiście dobrze, można wrzucać następne.
Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 16 maja 2020, o 00:27

Dla \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{R}}\), takich że \(\displaystyle{ \left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)\left(c^2-c+1\right)=1}\), udowodnij $$\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\left(c^2+ca+a^2\right)\le 27.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14859
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4921 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 16 maja 2020, o 13:51

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 16 maja 2020, o 18:44

Spoko, zastanawiam się, czy istnieje istotnie różne od tego elementarne rozwiązanie. Mnie się nic alternatywnego nie udało wymyślić. Twoja kolej.

ODPOWIEDZ