[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 13 kwie 2020, o 22:55

Nowe zadanie:
dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\ge a+b+c+\frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c} }\).
Kiedy zachodzi równość w powyższej nierówności?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 kwie 2020, o 13:13

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 kwie 2020, o 13:45

W porządku (swoją drogą też robiłem z CS), możesz wstawić następne zadanie. O tyle śmieszne, że sprawdzenie warunku równości stanowi (nieco) ciekawszy problem niż samo zadanie, co chyba nie tak często się zdarza (ale może mało widziałem).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 kwie 2020, o 14:14

Chciałam to dopisać też, ale czas edycji minął. :evil:

PS Aha, myślę, że możemy jeszcze zauważyć, że gdy zmienne są parami różne, to nie może zajść sytuacja, że oba wyrażenia w nawiasach w którymś równaniu powyższego układu są jednocześnie zerami.
__________________________________________________________________

Ok, bardzo prawdopodobne jest, że nie będę mogła przypilnować w najbliższym czasie tego łańcuszka, więc to będzie łatwe zadanie, tylko żeby nie oddawać kolejki. Jeżeli ktoś będzie pewien, że rozwiązał poprawnie, to może niech później od razu wrzuci jakieś następne.

Znajdź dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), takie że \(\displaystyle{ a+b+c\ge 6}\) oraz $$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+2b+c+3}+\frac{1}{ca+2a+1}=\frac{66}{(a+b+c)^3+4}$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 kwie 2020, o 17:50

Ukryta treść:    
Dodano po 45 minutach 30 sekundach:
Nowe zadanie:
proszę wykazać, że dla liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ x+y+z=xy+yz+zx}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}\le 1}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 kwie 2020, o 11:29

To może ja rozwiążę, dla odmiany.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 kwie 2020, o 11:39

Chyba najprostsze możliwe rozwiązanie (tak samo rozwiązywałem), możesz wrzucać następne.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 kwie 2020, o 11:53

Ok, to tak samo jak poprzednio:

Dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), udowodnij $$\sqrt[3]{4+17a^2b}+\sqrt[3]{4+17b^2c}+\sqrt[3]{4+17c^2a}+10\left(\frac{1}{27}-abc\right)\ge 5.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 kwie 2020, o 19:37

Ukryta treść:    
Dodano po 39 minutach 58 sekundach:
Nowe zadanie:
dla nieujemnych liczb rzeczywistych spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=4}\) proszę znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{a}{b^{3}+4}+\frac{b}{c^{3}+4}+\frac{c}{d^{3}+4}+\frac{d}{a^{3}+4} }\)

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7263
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Kartezjusz » 23 kwie 2020, o 10:41

Skąd ta pierwsza nierówność. Rozwiń proszę.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 23 kwie 2020, o 11:03

wyjaśnienie:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1521
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 401 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 24 kwie 2020, o 12:49

PLN 0.03:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 8 maja 2020, o 14:27

Cóż, nie spotkało się z zainteresowaniem.
rozwiązanie:    
Może teraz coś takiego:
liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{a}-1}\sqrt{\frac{1}{b}-1}+\sqrt{\frac{1}{b}-1}\sqrt{\frac{1}{c}-1}+\sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1}\ge 6}\)

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 12 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Thingoln » 8 maja 2020, o 17:01

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 8 maja 2020, o 18:51

Jest OK, możesz wrzucać następne.
alternatywne rozwiązanie:    

ODPOWIEDZ