[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 25 mar 2020, o 22:41

Ukryta treść:    
Jak ktoś ogarnięty to sprawdzi i potwierdzi poprawność, to wrzucę nowe.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 26 mar 2020, o 01:09

W.M. pisze:I wtedy ja, na dany znak,
Prężąc i śmiejąc się szampańsko...
To rozwiązanie jest ok. Nie znam wprawdzie firmówki, ale trudno mi jest wyobrazić sobie coś prostszego i fajniejszego niż zauważenie klasyka: \(\displaystyle{ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le xyz}\).
Uwagi:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 26 mar 2020, o 10:26

Dla rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ abc=1}\) proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}}\).

ODPOWIEDZ