[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 3 sty 2020, o 05:22

Nowe:
dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) proszę wyznaczyć największą taką stałą \(\displaystyle{ C_{n}\in\RR}\), że nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{n}\ge \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}\right)^{2}+C_{n}\left(a_{1}-a_{n}\right)^{2}}\)
zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3870
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: arek1357 » 3 sty 2020, o 14:29

Zakładam się że będzie:

\(\displaystyle{ C_{n}= \frac{n-1}{n^2} }\)

Mogę zakład przegrać pozdrawiam...

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 3 sty 2020, o 19:15

Prosty przykład \(\displaystyle{ n=3,\ a_1=2,\ a_2=\frac{2}{3},\ a_3=\frac{1}{3}}\) pokazuje, że ta hipoteza jest błędna. Myślę jednak, że w tym zadaniu akurat właśnie trudniej jest zorientować się, czego potrzeba, niż później dowieść, że to wystarcza.
Podpowiedź:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 31 sty 2020, o 15:02

Za długo stoi. Tutaj macie rozwiązanie wzorcowe (zadanie drugie z zawodów drużynowych): http://memo2010.skmo.sk/docs/solutions.pdf

Ja to robiłem w mniej odkrywczy sposób, ale napiszę.
Ukryta treść:    
Problemat był stosunkowo nietrudny, więc chyba temat zdycha, skoro nie było chętnych do rozwiązania.

Nowe zadanie:
dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=n}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}^{11}}{a_{2}^{7}}+\frac{a_{2}^{11}}{a_{3}^{7}}+\ldots+\frac{a_{n-1}^{11}}{a_{n}^{7}}+\frac{a_{n}^{11}}{a_{1}^{7}}\ge n}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 6 lut 2020, o 20:38

Poprzednie:    
Bieżące:    
W razie uzasadnionych uwag do mojego rozwiązania proszę zignorować poniższe zadanie.

Dane są: parzysta dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) oraz dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\), takie że \(\displaystyle{ n\ge 2k}\). Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających \(\displaystyle{ xyz=1}\) zachodzi następująca nierówność: $$\frac{1}{2kx^n+ky^n+3n-3k}+\frac{1}{2ky^n+kz^n+3n-3k}+\frac{1}{2kz^n+kx^n+3n-3k}\le\frac{1}{n}$$

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 20 lut 2020, o 20:56

Zgodnie z wcześniejszą deklaracją, po dwóch tygodniach zmieniam zadanie. W razie gdyby rozwiązanie podanego poniżej nie pojawiło się do, powiedzmy, przyszłego czwartku, dowolna osoba zyska prawo do przejęcia zabawy.

Dane są: liczba dodatnia \(\displaystyle{ k}\) oraz nierówność $$k\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\min\left\{(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2\right\}\qquad (*)$$
a) Udowodnij, że gdy \(\displaystyle{ k=\frac{1}{5}}\), wtedy nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) jest prawdziwa dla dowonlych nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y,z}\).
b) Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y,z}\)?

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1527
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 430 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 22 lut 2020, o 19:39

a):    
b):    
Nowe: dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{x^3+2}{y+2}+\frac{y^3+2}{z+2}+\frac{z^3+2}{x+2}\ge 3}\) dla dowolnych liczb nieujemnych \(x,y,z\) o sumie równej trzy.
Ostatnio zmieniony 22 lut 2020, o 21:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 lut 2020, o 22:39

Ukryta treść:    
Dodano po 1 godzinie 2 minutach 20 sekundach:
Następne niech będzie to zadanie wrzucone przez bosą:
bosa_Nike pisze:
6 lut 2020, o 20:38


Dane są: parzysta dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) oraz dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\), takie że \(\displaystyle{ n\ge 2k}\). Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających \(\displaystyle{ xyz=1}\) zachodzi następująca nierówność: $$\frac{1}{2kx^n+ky^n+3n-3k}+\frac{1}{2ky^n+kz^n+3n-3k}+\frac{1}{2kz^n+kx^n+3n-3k}\le\frac{1}{n}$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 15 mar 2020, o 21:41

Stare:    
Masz jakiś elegancki sposób na to zadanie, bosa_Nike? To, że po wymnożeniu wyszła całkiem łatwa nierówność, sugeruje (choć nie dowodzi), że i bez wymnażania sobie można jakoś poradzić…

Dodano po 7 minutach 42 sekundach:
Nowe zadanie:
w dodatnich spełniających \(\displaystyle{ abc=1}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\ge \frac{3}{2} }\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 16 mar 2020, o 00:04

Poprzednie:    

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5943
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2441 razy
Pomógł: 658 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 mar 2020, o 09:42

Nowe zadanie
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 16 mar 2020, o 11:44

Jest git, prosimy o kolejne zadanie.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5943
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2441 razy
Pomógł: 658 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 mar 2020, o 12:31

Ktora z liczb jest większa \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} }\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{ab} - \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } }\) ? jeśli \(\displaystyle{ a, b >0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14629
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 16 mar 2020, o 13:29

Ukryta treść:    
Dodano po 4 minutach 12 sekundach:
Nowe zadanie (mam nadzieję, że jeszcze nie wrzucałem):
w rzeczywistych dodatnich spełniających warunek \(\displaystyle{ a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\) proszę udowodnić, ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2c+a+b)^{2}}\le \frac{3}{16}}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 17 mar 2020, o 22:48

Ukryta treść:    
Coś takiego może będzie w miarę strawne:

Udowodnij, że w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność $$\frac{1}{8}\prod\limits_{cyc}\left(\frac{a|b-c|}{b+c}+\frac{b|c-a|}{c+a}-\frac{c|a-b|}{a+b}\right)\le abc\left|\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{a-b}{a+b}\right|$$

ODPOWIEDZ