[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5943
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2441 razy
Pomógł: 658 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 gru 2019, o 12:06

dowolnej chętnej osobie.
Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby dodatnie to \(\displaystyle{ (a+b-c)^3 +
( -a+b+c)^3+ (a-b+c)^3 \geq 3abc}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 24 gru 2019, o 12:04

Ukryta treść:    
Dodano po 9 minutach 21 sekundach:
Nowe:
niech \(\displaystyle{ m,n\in \NN^{+}, \ m<n}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=1, \ 0\le x_{1}\le x_{2}\ldots \le x_{n}}\). Proszę zmaksymalizować
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{m}^{2}}\).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1527
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 430 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 25 gru 2019, o 01:33

fajne:    
oddaję kolejkę

Dodano po 1 dniu 4 godzinach 24 minutach 34 sekundach:
pozwolę sobie wrócić do poprzedniej nierówności: \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}+\frac{d}{\sqrt{d^2+a^2}}\le 3\)
Ukryta treść:    
przejmuję kolejkę

dowieść, że jeśli suma dodatnich liczb \(x,y,z\) wynosi jeden to $$\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y-z\right)^2}{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}+\frac{\left(z-x\right)^2}{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\ge \left(y+z-2x\right)^2$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 27 gru 2019, o 03:27

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1527
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 430 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 27 gru 2019, o 03:47

o to właśnie chodziło :!:

gdy dopuścić liczby nieujemne to równość zajdzie także dla \(x=0, y=z=\frac 12\)

prosimy o nowe zadanie :arrow:

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 27 gru 2019, o 04:29

Może też coś prostego, bo nie mam za bardzo pomysłu. Dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\ge 4(xy+yz+zx)}\)
(NB ciekawe, że to zadanie z BMO, a ostatnio te z JBMO bywają trudniejsze niż to, no ale z czasem poziom zawodów się zwykle zmienia).

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3870
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: arek1357 » 31 gru 2019, o 00:43

Leży to długo , no więc podstawmy:
W telegraficznym skrócie:

\(\displaystyle{ x+y=a^2 , x+z=b^2 , y+z=c^2}\)

Po podstawieniu i skróceniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+3abc \ge a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2/c^3}\)

załóżmy, że ponieważ nierówność symetryczna, że:

\(\displaystyle{ a \le b \le c}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ x= \frac{a}{c} , y= \frac{b}{c} , 0 \le x \le y \le 1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ x^3+y^3+1+9xy \ge x^2y+xy^2+x+x^2+y+y^2}\)

lub:

\(\displaystyle{ f(x)=x^3-(y+1)x^2-(y^2-9y+1)x+y^3-y^2-y+1 \ge 0}\)

Funkcja trzeciego stopnia jaka jest każdy widzi , biegnie od minus nieskończoności, potem posiada maksimum , a potem dolinka , a potem do nieskończoności...

miejsca w których jest górka a potem dolinka to ( z pochodnej jakby kto pytał):

\(\displaystyle{ x_{g}= \frac{y+1- \sqrt{4y^2-25y+4} }{3} }\) - górka

\(\displaystyle{ x_{d}= \frac{y+1+\sqrt{4y^2-25y+4} }{3} }\) - dolinka

łatwo sprawdzić, że:

\(\displaystyle{ x_{d}>1}\) to ważne

natomiast.: \(\displaystyle{ x_{g}}\) może być albo troszkę mniejsze od zera albo ciut większe , nie ma to znaczenia,

obliczmy:

\(\displaystyle{ f(0)=y^3-y^2-y+1=y^2(y-1)-(y-1)=(y-1)(y^2-1)=(y-1)^2(y+1) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ f(1)=y^3-2y^2+7y+1 \ge 0 \leftarrow \rightarrow 0 \le y \le 1}\) - co jest oczywiste

Więc biorąc pod uwagę kształt funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=x^3-(y+1)x^2-(y^2-9y+1)x+y^3-y^2-y+1}\)

dla:

\(\displaystyle{ 0 \le x,y \le 1}\)

widać , że:

\(\displaystyle{ f(x) \ge 0}\)

cnd...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 31 gru 2019, o 01:27

Troszkę długie. Zamysł był taki (mój, nie wiem, jak autorów, ale nie zdziwiłbym się, gdyby był zgrabniejszy):
z Cauchy'ego-Schwarza mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{(z+x)(z+y)}\ge z+\sqrt{xy}\\\sqrt{(x+y)(x+z)}\ge x+\sqrt{yz}\\\sqrt{(y+z)(y+x)}\ge y+\sqrt{zx}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\ge \sum_{\text{cyc}}(x+y)\left(z+\sqrt{xy}\right)\\=2(xy+yz+zx)+\sum_{\text{cyc}}\left(x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}\right)}\)
i teraz w tej ostatniej sumie szacujemy z nierówności między średnimi
\(\displaystyle{ x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}\ge 2xy}\)
i dwie analogiczne nierówności, i po zadaniu.

Mnie po podstawieniu, które zaproponowałeś, wyszła trochę inna nierówność do wykazania, a mianowicie
\(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab\ge 2(ab)^{2}+2(bc)^{2}+2(ca)^{2}}\)
W tej ostatniej nierówności, jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ p=a+b+c, \ q=ab+bc+ca, \ r=abc}\), to mamy do udowodnienia, że
\(\displaystyle{ \left(p^{2}-2q\right)^{2}+pr\ge 4q^{2}-4pr}\)
a to jest jakieś proste ćwiczenie z metody \(\displaystyle{ pqr}\).
Wystarczy sprawdzić przypadki, w których jedna ze zmiennych jest równa zero oraz dwie spośród zmiennych są równe, a to daje nierówności (bez straty ogólności, bo nierówność jest symetryczna):
\(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}\ge 2(ab)^{2}\\2a^{4}+c^{4}+2a^{3}c+c^{2}a^{2}\ge 2a^{4}+4(ac)^{2} }\)
które są trywialne do udowodnienia (odpowiednio, średnie dla dwóch i dla trzech zmiennych, w tym drugim przypadku po redukcji wyrazów podobnych).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 31 gru 2019, o 01:48

Inaczej:    
Dodano po 2 godzinach 3 minutach 42 sekundach:
Premislav pisze:
31 gru 2019, o 01:27
\(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab\ge 2(ab)^{2}+2(bc)^{2}+2(ca)^{2}}\)
O ile się nie mylę, to to w \(\displaystyle{ pqr}\) ma nieco inną postać (tej: \(\displaystyle{ \left(p^{2}-2q\right)^{2}+pr\ge 4q^{2}-4pr}\) nie da rady dowieść), mianowicie \(\displaystyle{ p^4+9pr\ge 4p^2q}\), co z kolei jest przebraną nierównością Schura trzeciego stopnia.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 31 gru 2019, o 04:48

O rany, raz na wozie, raz pod wozem, chyba że jest się mną, wtedy zawsze pod wozem. Dzięki. Powinno być po prawej \(\displaystyle{ -8pr}\) i to się po prostych przekształceniach zgadza z Twoją formą.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3870
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: arek1357 » 31 gru 2019, o 12:17

Oj tak przepraszam bo przestałem myśleć w nocy no i wielomian trzeciego stopnie wziąłem z innej nierówności, którą obok tej rozwiązywałem na kartce , stąd trzeciego stopnia ale to zupełnie inne zadanie no cóż zdarza się , i całkiem mi się pomieszało, ale niech zostanie trudno...moja wina...

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 1 sty 2020, o 11:08

Nic się nie stało.

Wrzuć, proszę, następne zadanie, bosa_Nike.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 1 sty 2020, o 13:44

Dla \(\displaystyle{ a,b,c\ge 0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=2}\) pokaż, że $$a^3+2a^2b+23abc\le 8.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 2 sty 2020, o 03:32

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1485
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 387 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 2 sty 2020, o 21:20

Spoko, imho jest OK. To zadanie od początku wydawało mi się bezduszne, a teraz tylko się w tej opinii utwierdzam. Problem prawdopodobnie pochodzi od M. Rozenberga; po przerewersowaniu swojego rozwiązania uzyskałam coś, co być może uszłoby za rozwiązanie w stylu autora. :roll:
W nietrywialnym przypadku, gdy \(\displaystyle{ b,c}\) nie są jednocześnie zerami, mamy
$$\begin{aligned}&(a+b+c)^3-\left(a^3+2a^2b+23abc\right)\\&\kern3em=\frac{1}{4(b+3c)}\left((2ab-11bc+6ca)^2+b^2(b-2c)^2+6bc(2b-3c)^2+\left(3b^2+12c^2+12ab+10bc+36ca\right)(b-c)^2\right)\ge 0.\end{aligned}$$

ODPOWIEDZ