[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Dobra, to zadanie było naprawdę kjowe, więc trochę się boję, że nikomu nie będzie się chciało pisać, w ramach bonusu wrzucę pięć dowodów oraz nowe zadanie.
sposób nr 1:    
sposób nr 2:    
sposób nr 3:    
sposób nr 4:    
sposób nr 5:    
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}, \ x+y+z=1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{(1+xy+yz+zx)\left(1+3x^{3}+3y^{3}+3z^{3}\right)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\ge \left(\sum_{\text{cyc}}^{}\frac{x(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\left(3+9x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}}\right)^{2}}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Bardzo elegancko, można wrzucać następne.
co do lewej strony…:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Dany jest trójkat o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\), promieniach okręgu opisanego i wpisanego odpowiednio \(\displaystyle{ R, r}\) (\(\displaystyle{ r>0}\)) oraz promieniach okręgów dopisanych \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c}\). Udowodnij, że $$\frac{(1+r_ar_b)(r_a+r_b)}{\left(1+r_a^2\right)\left(1+r_b^2\right)}+\frac{(1+r_br_c)(r_b+r_c)}{\left(1+r_b^2\right)\left(1+r_c^2\right)}+\frac{(1+r_cr_a)(r_c+r_a)}{\left(1+r_c^2\right)\left(1+r_a^2\right)}\le\frac{2R-r}{r}.$$

W razie braku odzewu z mojej strony w ciągu, powiedzmy, dwunastu godzin po publikacji rozwiązania, proszę sie nie wahać i kontynuować zabawę.
Ostatnio zmieniony 10 lut 2021, o 12:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

coś za łatwo poszło:    
Nawet nie trzeba było wiedzieć, co to ten okrąg dopisany (nie wpadłem na to w pierwszej chwili i sprawdziłem na wiki jbc). :D Podejrzane.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Przewodniczący komisji śledczej pisze:Dziękuję, zajmiemy się tym natychmiast.
Mam dość dobrze uzasadnione przypuszczenia, że taki był zamysł, żeby pokazać zalety patrzenia na zadanie w różnych skalach. Twoja kolej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca\le 1}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a+b+c+\sqrt{3}\ge 8abc\left(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\right)}\).
Ostatnio zmieniony 11 lut 2021, o 22:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Całkiem zgrabnie (początek miałem taki sam, potem oddzielnie szacowałem z dołu mianowniki według \(\displaystyle{ (a+b)(c+a)\ge 4a\sqrt{bc}}\) itd.). Zadajesz.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Dla rzeczywistych liczb \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=3}\), udowodnij $$\frac{a}{b(a+5c)^2}+\frac{b}{c(b+5a)^2}+\frac{c}{a(c+5b)^2}\ge\frac{1}{4\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}.$$
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Doskonale, kontynuuj.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\in \left(0, \frac{1}{2}\right]}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}{(1-x_{1})(1-x_{2})(1-x_{3})(1-x_{4})}\le \frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}}{(1-x_{1})^{4}+(1-x_{2})^{4}+(1-x_{3})^{4}+(1-x_{4})^{4}}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ech, zapomniałem o tym wątku. :| To jest bodajże Tajwan 2002, zadanie 4. Nie umiałem rozwiązać tego zadania, natomiast dla porządku zamieszczę znany mi dowód (IMHO ładny, ale nieintuicyjny).
Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y}\). Proszę znaleźć największą i najmniejszą wartość \(\displaystyle{ x+y}\)
(tak, jest łatwe, bo chcę, żeby ktoś odkurzył ten wątek).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 22 mar 2021, o 19:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ