To jest zadanie piąte z APMO 2012, wzorcówka leciała jakoś tak:
najpierw łatwo uzasadniamy, że wystarczy wykazać nierówność dla nieujemnych, bo
\(\displaystyle{ |a_{i}a_{j}|\le |a_{i}|\sqrt{n-a_{i}^{2}}\le \frac{n}{2}<n}\)
i w związku z tym
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-a_{i}a_{j}}\le \frac{1}{n-|a_{i}||a_{j}|}}\),
a jeśli kwadraty
\(\displaystyle{ a_{i}}\) sumują się do jedynki, to kwadraty
\(\displaystyle{ |a_{i}|}\) też (bo to jest to samo, lel).
Potem mnożymy tezę stronami przez
\(\displaystyle{ n}\), zapisujemy
\(\displaystyle{ \frac{n}{n-a_{i}a_{j}}=1+\frac{a_{i}a_{j}}{n-a_{i}a_{j}}}\),
co po odjęciu stronami
\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\) daje nam równoważną postać
\(\displaystyle{ \sum_{1\le i<j\le n}^{}\frac{a_{i}a_{j}}{n-a_{i}a_{j}}\le \frac{n}{2}}\)
Teraz tak: jeśli
\(\displaystyle{ a_{k}^{2}=n}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ 1\le k\le n}\), to teza jest oczywista, a w przeciwnym przypadku mamy
\(\displaystyle{ \frac{a_{i}a_{j}}{n-a_{i}a_{j}}\le \frac{\left(\frac{a_{i}+a_{j}}{2}\right)^{2}}{n-a_{i}a_{j}}\le \frac{\left(\frac{a_{i}+a_{j}}{2}\right)^{2}}{n-\frac{a_{i}^{2}+a_{j}^{2}}{2}}\le \frac{\frac{a_{i}^{2}}{4}}{\frac{n-a_{j}^{2}}{2}}+\frac{\frac{a_{j}^{2}}{4}}{\frac{n-a_{i}^{2}}{2}}\\=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{i}^{2}}{n-a_{j}^{2}}+\frac{a_{j}^{2}}{n-a_{i}^{2}}\right)}\)
przy czym ostatnia nierówność wynika z CS w formie Engela.
Zatem otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sum_{1\le i<j\le n}^{}\frac{a_{i}a_{j}}{n-a_{i}a_{j}}\le \frac{1}{2}\sum_{1\le i<j\le n}\left(\frac{a_{i}^{2}}{n-a_{j}^{2}}+\frac{a_{j}^{2}}{n-a_{i}^{2}}\right)\\=\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{a_{j}^{2}}{n-a_{i}^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{n-a_{i}^{2}}{n-a_{i}^{2}}=\frac{n}{2}}\)
Sam nie wiem, czy brak odzewu bardziej z uwagi na ogólną zapaść forum, na to, że zadanie takie lajtowe, czy takie harde (dla mnie nie było ono łatwe, bo nie rozwiązałem xD Doszedłem do wszystkiego, prócz tego, czemu ta ostatnia suma się upraszcza do
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\), a to takie proste, wstyd.
