[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 120 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
co to jest \(\displaystyle{ csc(x)}\)?Wasilewski pisze:Jensen dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = csc(x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 260
- Rejestracja: 3 lis 2007, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nidzica
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 59 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Mozna tez z herona podstawić \(\displaystyle{ S}\), dalej z Shura , do kwadratu i mamy prawdzwwią nierównośc \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \geqslant xy+yz+xz}\) !
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
firmówka jest tak poryta że nie warto jej pokazywaćWasilewski pisze: A jak wygląda firmówka (o ile takowa istnieje)?
moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{4S}= \frac{4S \cdot R( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )}{4S}=R( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \geqslant \frac{9R}{a+b+c}= \frac{9R}{2R(\sin x+\sin y+\sin z)}=\\= \frac{9}{2(\sin x+\sin y+\sin z)} \geqslant \frac{9}{2 \cdot 3 \cdot \sin \frac{\pi}{3}}= \sqrt{3} }\)
po kolei:
\(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}, SA>SH}\), tw. sinusów, nierówność Jensena
[ Dodano: 5 Października 2008, 16:21 ]
jak ktoś chce zerknąć na wzorówke, to jest w różowym zbiorze Pawłowskiego - to było zadanie z III rozdziału nie pamietam numeru
___
było w tym roku w Zwardoniu, ale poziom raczej II etapu:
udowodnij że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^3}{a_i^2+a_ia_{i+1}+a_{i+1}^2} \geqslant \frac{ \sum_{i=1}^{n}a_i }{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{i+1}=a_1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
wykaż że zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+3ab}}\ge \frac{3}{2}}\)
dla boków trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+3ab}}\ge \frac{3}{2}}\)
dla boków trójkąta
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Od razu widać, że wyrazy po lewej stronie występują tylko w dwóch wyrażeniach z tej sumy, zatem jeśli udowodnimy lemat postaci:Dumel pisze:było w tym roku w Zwardoniu, ale poziom raczej II etapu
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \frac{ka+(1-k)b}{3}}\) dla pewnego k i dodamy tą nierówność stronami n razy, to otrzymamy tezę zadania. Wymnażając, lemat jest równoważny: \(\displaystyle{ 3a^3+kb^3 ka^3+a^2b+ab^2+b^3}\) - stąd można wysnuć wnioski: \(\displaystyle{ a 0 kb^3 b^3 k 1}\), analogicznie: \(\displaystyle{ b 0 3a^3 ka^3 k 3}\) - można się jeszcze trochę pobawić, w każdym razie dość szybko można się domyśleć, że k=2 pasuje. Dodając stronami n nierówności poniższej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a_i^3}{a_i^2+a_ia_{i+1}+a_{i+1}^2} \frac{2a_i - a_{i+1}}{3}}\)
dla i=1,2,...,n dostajemy tezę zadania.
Co do ostatniej nierówności, to stosując Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}}\) dostajemy do udowodnienia coś takiego:
\(\displaystyle{ 12(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) 5(a^3+b^3+c^3)+57abc}\), teraz wykonując standardowe podstawienie otrzymujemy udowodnić coś takiego dla liczb dodatnich x,y,z (mam nadzieję, że nie pomyliłem się przy działaniach):
(*) \(\displaystyle{ 14(x^3+y^3+z^3)+30xyz 12(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y)}\)
Co jest prawdą, gdyż:
(**) \(\displaystyle{ 10 \left(x^3+y^3+z^3+3xyz \right) 10 \left(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y \right)}\) - to jest nierówność Schura
(***) \(\displaystyle{ 4(x^3+y^3+z^3) 2(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y)}\) - to wynika np. z nierówności o ciągach jednomonotonicznych, można tez wszystko przerzucić na jedną stronę i zwinąć
Dodając (**) i (***) otrzymujemy (*), a to jest warunek dostateczny prawdziwości nierówności zadania.
Mógłbyś przedstawić wzorcówkę? Wymnażając "na pałę" wyjdzie, ale chyba chodzi tu o to, żebyśmy się czegoś nauczyli.\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Zgadzam się z przedmówcą. To zadanie pozostało jakby bez komentarza, a przyznam się, że żadnego oryginalnego pomysłu tutaj nie miałem (poza robieniem na chama). To samo się tyczy pierwszej nierówności...Sylwek pisze:Mógłbyś przedstawić wzorcówkę? Wymnażając "na pałę" wyjdzie, ale chyba chodzi tu o to, żebyśmy się czegoś nauczyli.\(\displaystyle{ \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}}\)
- limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Niestety nie mam rozwiązania... Myslalem, ze czegos w tym nie widze ale okazuje sie, ze chyba jest jednak trudne. Zadanie jest z mathscope'a i nie ma ani rozwiązania ani nawet wskazówki.
-
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 120 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
mam pytanko, gdy korzystamy z nierówności Jensena na OM to trzeba dowieść, że dana funkcja jest wypukła czy wystarczy tylko napisać?
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Trzeba, pomijając oczywiście trywialne przypadki. Czasami okazuje się to równie skomplikowane co samo zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Albo dużo bardziej... Looknij sobie zadanie 6 z II etapu 2 lata temu. Trzeba tam wiedzieć jak sobie radzić z jensenem przy wielu zmiennych.mdz pisze:Trzeba, pomijając oczywiście trywialne przypadki. Czasami okazuje się to równie skomplikowane co samo zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
kto ma pomysł na to:
\(\displaystyle{ a,b,c,d \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16}\)
udowodnij że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d \geqslant \frac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)
\(\displaystyle{ a,b,c,d \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16}\)
udowodnij że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d \geqslant \frac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
https://matematyka.pl/548.htm
Tu coś jest na ten temat. Podanego rozwiązania nie chciało mi się czytać, ale życzę wytrwałości.
Tu coś jest na ten temat. Podanego rozwiązania nie chciało mi się czytać, ale życzę wytrwałości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ja jednak proponuję wrzucać tutaj jakieś robialne nierówności. Jeśli ktoś życzy sobie rozwiązanie do jakiejś super-wypasionej nierówności to polecam mathlinks... Nie o to chodzi, że mamy słabą ekipę, bo tak nie jest, ale temat z założenia ma przygotować na II etap, a nawet na zeszłorocznym finale nierówność była wprost żałosna, więc wniosek nasuwa się sam..Dumel pisze:kto ma pomysł na to:
\(\displaystyle{ a,b,c,d \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16}\)
udowodnij że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d \geqslant \frac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)